1.4 矢量场的通量 散度

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1、11.4矢量场的通量散度一、矢量场的通量若S为闭合曲面表达式为物理意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间某一点的情况。定义：矢量场沿某一有向曲面S的面积分称为矢量场通过该有向曲面S的通量。面元法向　的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合曲线外法线方向。2对于流体场，若穿过闭合面S的通量不等于零，则表示闭合面包围的体积内有净流量流出或流入。(1)若Φ>0，则表示每秒有净流量流出，说明体积内必定存在着流体的“源”（或源大于沟）；(2)若Φ<0，则表示每秒有净流量流入，说明体积内必定存在着流体的“沟”（或沟大于

2、源）；(3)若Φ=0，则流入体积内和从体积内流出的流量相等，即体积内源和沟的总和为零或体积内既无源也无沟。3散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量。二、矢量场的散度4散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；矢量场的散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。(正源)负源)(无源）若处处成立，则该矢量场称为无散场若，则该矢量场称为有散场，为源密度讨论：在矢量场中，5在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场

3、表示为：规定：穿入为负，穿出为正。在x方向上：计算穿过和面的通量为因为：则：在x方向上的总通量：散度的计算6在z方向上,穿过和面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在y方向上,穿过和面的总通量：该闭合曲面所包围的体积：7在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：8例1：矢量场，计算穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量，并计算此矢量场的散度在球坐标内的球面上各点的矢量为其大小处处相等。解：在球面上的面元矢量在直角坐标内计算，有9若在球坐标内计算，则证明了矢量场的散度与坐标的选择无关。10三、散度的运算公式四、高斯定理(散度定理)物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量

4、散度的体积分。11例：已知,,求矢量在处的散度。解　可用两种方法求解：