矢量的通量与散度

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1、第一章矢量分析任意点处矢量的表示方法:矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以表示为：A=A(x,y,z)利用坐标分量表示法:设Ax,Ay,Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A可以示为1.4矢量场的通量与散度1.4.1矢量场的矢量线第一章矢量分析所谓矢量线即在曲线上每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），如静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线.P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，有其中矢径r的表达式为矢量线图第一章矢量分析矢量线的特点矢量线

2、的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向第一章矢量分析1.4矢量的通量和散度1.4.2矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：dS=ndS问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。第一章矢量分析由于所取的面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量记作因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为若S为闭合曲面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。第一章矢量分析1.4.3.矢量场的散度(1)散度的定义设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P

3、点在内的闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限:如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性矢量场的散度是一个标量矢量场的散度是空间坐标的函数矢量场的散度值表征空间中通量源的密度若，则该矢量场称为有源场，为源密度若处处成立，则该矢量场称为无源场讨论：在矢量场中，(正源)负源)(无源）从点P单位体积内散发的通量第一章矢量分析散度的表达式为(直角坐标系)圆柱坐标系球坐标系第一章矢量分析重要的定理为散度定理又称高斯定理该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的

4、边界面S上的积分（通量）。散度定理的证明从散度定义有：则在一定体积V内的总的通量为：得证！例如：已知R=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’),R=

5、R

6、求矢量在处的散度