高斯公式-通量与散度.ppt

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1、高斯公式物理意义---通量与散度小结思考题作业fluxdivergence第六节高斯(Gauss)公式通量与散度第十章曲线积分与曲面积分高斯Gauss,K.F.(1777–1855)德国数学家、物理学家、天文学家格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.高斯(Gauss)公式通量与散度2一、高斯公式高斯公式也称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801–1861具有则有公式一阶连续偏导数,或高斯公式外侧,高斯(

2、Gauss)公式通量与散度3证明思路分别证明以下三式,从而完成定理证明.只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.高斯(Gauss)公式通量与散度▲4证设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.即边界面三部分组成:(取下侧)(取上侧)(取外侧)高斯(Gauss)公式通量与散度▲5由三重积分的计算法投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公式通量与散度▲6由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧一投,二代,三定号高斯(Gauss)公式通量与散度▲7于是高斯(Gauss)公式通量与散度▲8同理合并以上三式得}自己证高斯公式高斯

3、(Gauss)公式通量与散度▲9高斯(Gauss)公式通量与散度若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.▲10由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯(Gauss)公式通量与散度Ga

4、uss公式的实质▲11高斯(Gauss)公式通量与散度使用Guass公式时应注意:使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.高斯公式12二、简单的应用解解球例2外侧.因Σ是闭曲面,可利用高斯公式计算.高斯(Gauss)公式通量与散度15例3解外侧.?能否直接用点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积因被积函数中的函数化简，高斯公式高斯(Gauss)公式通量与散度16有时可作辅助面,(将辅

5、助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,高斯(Gauss)公式通量与散度17例4计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.高斯(Gauss)公式通量与散度部分的解空间曲面Σ在xOy面上的曲面不是为利用高斯公式投影域为补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,18由对称性高斯(Gauss)公式通量与散度先二后一法19故所求积分为高斯(Gauss)公式通量与散度20高斯(Gauss)公式通量与散度证利用高斯公式，即得高斯(Gauss)公式通量与散度高斯(Gauss)公式通

6、量与散度沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件高斯(Gauss)公式通量与散度我们有以下结论：高斯(Gauss)公式通量与散度练习利用高斯公式计算三重积分提示则取高斯(Gauss)公式通量与散度考虑到选取相当自由，▲26由高斯公式极坐标高斯(Gauss)公式通量与散度▲27被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.?如直接计算分析用高斯公式.例Σ是锥面所围立体的表面计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.高斯(Gauss)公式通量与散度28解由于故由高斯公式=球高斯(Gauss)公式通量与散度29解(如图)练习计算

7、曲面积分1987年研究生考题,计算(10分)绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角绕y轴旋转高斯(Gauss)公式通量与散度▲30取右侧.有高斯公式柱坐标高斯(Gauss)公式通量与散度▲31取右侧故高斯(Gauss)公式通量与散度▲321.通量为向量场设有一向量场则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.fluxdivergence穿过曲面Σ这一侧的高斯(Gauss)公式通量与散度二、物理意义通量与散度通量的计算公式2.散度设有向量场为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭

8、曲面它所围成的小区域及其体积记为表示内穿出的通量,若当缩成P点时,极限高斯(Gauss)公式通量与散度记为散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的即散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,高斯(Gauss)公式通量与散度散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯(Gauss)公式通量与散度高斯公式可写成例向量场1989年研究生考题,填空(3分)解高斯(Gaus