第六节高斯公式通量与散度.doc

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1、第六节高斯公式通量与散度格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系.本节要介绍的高斯公式则揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.分布图示★高斯公式★例1★例2★例3★沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件★通量与散度★例4★内容小结★课堂练习★习题10-6★返回内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有公式(6.1)这里是的整个边界曲面的外侧,是上点

2、处的法向量的方向余弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为二、通量与散度一般地，设有向量场,其中函数、、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面的单位法向量.则沿曲面的第二类曲面积分称为向量场通过曲面流向指定侧的通量.而称为向量场的散度，记为，即.(6.4)例题选讲利用高斯公式计算例1(E01)计算曲面积分

3、其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（图10-6-1）.解利用高斯公式，得原式=（利用柱面坐标）例2计算其中为旋转抛物面在部分的外侧.解作辅助平面则平面与曲面围成空间有界闭区域由高斯公式得例3(E02)计算其中为锥面,为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面取的上侧，则构成封闭曲面(见图10-6-2)，设其所围成空间区域为于是而故通量与散度例4(E03)求向量场的流量(1)穿过圆锥的底(向上);(2)穿过此圆锥的侧表面（向外）.解如图10-6-3，设及分别为此圆锥的面，侧面及全表面，

4、则穿过全表面向外的流量(1)穿过底面向上的流量(2)穿过侧表面向外的流量课堂练习1.利用高斯公式计算其中为球面的外侧.2.求向量场的散度.