《矢量场的散度》PPT课件.ppt

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1、一、矢量的通量：1、矢量场的矢量线：常用带方向(箭头)的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况.那么,这些场线就称为矢量线或流线.线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小.如点电荷产生的电场中的电力线.1.２矢量场的散度2、矢量线的微分方程：在直角坐标系中,设某一矢量函数为：由定义:矢量线上任一点的切向长度元与该点的矢量场平行.则求出通解，就可画出矢量线。3、矢量的通量：（1-4-3）方向的确定：是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线C，选定C的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向C的绕行方向，大拇指指向的方向，也

2、即方向。是闭合面的面元，则为该闭合面的外法线方向。面元足够小，视其上的A为常数∵穿过的通量有向面元记作:矢量场的通量为标量,其正、负与面元的取向有关。穿过面积S的通量为：若S为开表面，则穿过曲面S的通量为：若S为闭合面，则穿出S的通量为：（1-4-5）（1-4-6）讨论:S为闭合面S内没有净源.S内必有吸收通量线的源负源＜S内必有发出通量线的源正源＞二、矢量场的散度１、散度的定义散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对体积的变化率。也称为“通量源密度”。在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：讨论：＞0：该点有发出通

3、量线的正源；＜0：该点有吸收通量线的负源；＝0：该点无源。散度是标量。2、散度在直角坐标系中的表示式：即矢量微分算子：“”5、高斯散度定理：散度定理把一个体积分变换成一个闭合面积分,因此散度定理广泛用于将一个电磁场通量形式的积分方程转换为一个散度形式的微分方程。证明：任取一体积τ，其相应的闭合表面为S。现将体积元τ分成N个体积元：对任一体积元即同理：对相邻的体积元从、组成的体积中穿出的通量为：∵相邻两个体积元有一个公共表面，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其方向恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边的积分只剩下、外表面上的通量，因此，当体积τ由N

4、个小体积元组成时，穿出体积τ的通量就等于限定它的闭合面S上的通量。即证毕例：长方体区域由六个面组成，设其内矢量场试就此验证散度定理的有效性。解：由题意知矢量为二维矢量，且和的表面平行，因此只需要计算其余表面的通量。又因于是体积分以上计算表明：散度定理成立。yoz例：球面S上任意点的位置矢量为求解：根据散度定理