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《专题13 导数与函数的单调性问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题13导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.【方法点评】类型一求已知函数的单调区间使用情景：已知函数的解析式判断函数的单调性解题模板：第一步计算函数的定义域；第二步求出函数的导函数；第三步若，则为增函数；若，则为减
2、函数.[来源:学,科,网]例1函数的单调递增区间为___________．【答案】【解析】考点：导数与单调性．【点评】求已知函数的单调区间的关键是正确求出函数的导函数，并正确计算和相应的自变量的取值范围.【变式演练1】若，，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，，时，；在上是增函数，又，.故选C．学科网考点：利用导数研究函数的单调性．【变式演练2】函数，的单调减区间为．【答案】（0，）（可写为）【解析】考点：1.函数的求导法则；2.利用导数求单调区间；【变式演练3】设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】[来源:Zxxk.
3、Com]试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.【变式演练4】若，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：函数的定义域为，,所以的解集为,故选C．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.类型二求含参数的函数的单调区间使用情景：函数的解析式中含有参数解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；第三步求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.例2已知函数．讨论函数的单调区间.【答案】当
4、时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减．（其中）.学科网【点评】解决含参数的函数的单调区间的关键是正确地讨论与的大小关系，并正确地判断导数的符号，进而确定函数的单调区间.【变式演练5】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【变式演练6】已知.（1）讨论的单调性；（2）当时,证明对于任意的成立.【答案】（1）当时,在内单调递增,在内单调递减,当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增,当时,在内
5、单调递增,在内单调递减,在单调递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数，令，．则，利用导数分别求与的最小值得到恒成立．由此可得对于任意的成立．试题解析：（1）的定义域为,当时,时,单调递增,时,单调递减,当时,.学科网①时,,当或时,单调递增,当时,单调递减.②时,,在内,单调递增.（2）证明:由（1）知时,,设,则,由,可得,当且仅当时取得等号,又,设,则在单调递减,因为,使得时,时,在内单调递增,在内单调递减,由,可得,当且仅当时取得等号,所以,即对于
6、任意的成立.考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.【变式演练7】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；（3）若，求证.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用两直线平行,求出的值；（2）利用恒成立,转化为求的最小值；（3）由函数的单调性,所以,代入化简得证.（3）∵，∴，要证，即证令，由（2）知，在上是增函数，∴.故，即.考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.【变式演练8】函数．讨论的单调性．【答案】当时，在
7、上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．【解析】考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．【变式演练9】已知函数，，其中a∈R.（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）a≥【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数导数并确定导函数符号：，即得函数在定义域上单调递增（Ⅱ）g（x）在其定义域内为增函数，等价于g′（x）≥0恒成立，再利用变量分离法将其转化为对应函数最值：的最大值
8、，最后利用基本不等式求最大值得正实数a的取值范围.学
