动态问题中重叠面积问题

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1、动态问题中重叠面积问题1．（2012湖南娄底10分）如图13，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N.（1）求证：△BMD∽△CNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.BDECNAFM【答案】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C∵△DEF

2、是等边三角形，∴∠FDE=∠FED，而∠FDE=∠B+∠DMB，∠FED=∠C+∠ENC∴∠DMB=∠ENC∴△BMD∽△CNE（2）设BD=x，则DM=x，BDECNAFMH作MH⊥DE于点H，得MH=x，MF=4－x，又由题设知MH=MF得，解得∴当BD=时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切（3）由BD=x，DE=4，BC=8得EC=4－x，则EN=EC=4－x∴y=S△ABC－S△BDM－S△ECN==由M、N分别在线段AB、AC上得，BM

3、012深圳）如图9，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化。（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2。当b＝时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）经过圆心M；当b＝时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）。ACMBD图9-1Ol:y=－2x+bOl:y=－2x+b图9-2设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式。解：（1）b=10，b

4、=或b=…………………………（0≤b≤4）……………（414）…………………………（0≤b≤4）……………（414）（2）3．（2012宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．[来源:Z*xx*k.Com]（1）求M，N的坐标．（2）矩形ABCD中，已知

5、AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．解：（1）解方程组，解得：，则M的坐标是：（4，2）．在解析式y=-x+6中，令y=0，解得：x=6，则N的坐标是：（6，0）． （2）当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t

6、，则高是t，则面积是×t•t=t2；当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：t，上底是：（t-1），根据梯形的面积公式可以得到：；当4＜t≤5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：-t+6和（t-1），根据梯形的面积公式即可求得；当5＜t≤6时，重合部分是直角梯形，与当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S=7-2t；当6＜t≤7时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得．则：（3）在0≤t≤1时，函数的最大值是

7、：；当1＜t≤4，函数值y随x的增大而增大，则当x=4时，取得最大值是：；当4＜t≤5时，是二次函数，对称轴x=，则最大值是：-；当5＜t≤6时，函数y随t的增大而减小，因而函数值一定小于；同理，当6＜t≤7时，y随t的增大而减小，因而函数值小于．总之，函数的最大值是：．23．（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是　（6，2）　；②∠CAO=　30　度；③当点Q与点A重合

8、时，点P的坐标为　（3，3）　；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；矩