弹性力学 平面问题极坐标解法

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1、适解问题：主要边界是圆周曲线的弹性力学平面问题比较适用于极坐标解法圆环问题曲梁（扇形）问题楔形体问题开圆孔问题注意：不同坐标系下的解答，仅是表答形式不同。由于弹性力学问题是唯一的，问题的解答的物理本质也是相同的。第四章平面问题极坐标解法极坐标系是曲线坐标系坐标r（径向坐标、极径）：坐标原点到空间点的距离，坐标正向有原点指向空间点坐标θ（周向坐标、极角）：坐标原点到空间点连线与x轴正向的夹角，坐标正向由z坐标正向和r坐标正向通过右手法则确定极坐标系是正交曲线坐标系r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的

2、直线）θ坐标曲线：坐标r为常数的曲线（过空间点的圆弧）由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其切线构成局部正交坐标标架极坐标系应力分量法向是径向坐标正向的截面的应力方向是周向坐标正向的截面的应力应变分量径向坐标方向的线应变周向坐标方向的线应变相互垂直的径向和周向的剪应变位移分量径向位移周向位移极坐标下的应力、应变和位移径向力的平衡极坐标下的平衡微分方程(1)周向力的平衡极坐标下的平衡微分方程(2)极坐标下的几何方程(1)仅径向位移随坐标变化极坐标下的几何方

3、程(2)仅周向位移随坐标变化极坐标下的几何方程(3)几何方程平衡微分方程几何方程极坐标下的基本方程和边界条件物理方程边界条件直角坐标下的相容方程极坐标和直角坐标的坐标变换极坐标下的应力函数和相容方程（1）xyrθOP极坐标下的应力函数和相容方程（2）极坐标下的应力函数和相容方程（3）应力函数的相容方程应力函数与应力的关系xyrθOPy’x’平面轴对称问题和应力轴对称问题平面轴对称问题：结构对称于其中心轴且受力也对称于结构的中心轴；只有径向和周向正应力，没有剪应力；所有应力与周向坐标无关应力轴对称问题：结构无对

4、称中心轴，仅应力与周向坐标无关均未提及位移约束应力函数与周向坐标无关与极角坐标无关的弹性力学问题（1）应变位移与极角坐标无关的弹性力学问题（2）与极角坐标无关的弹性力学问题（3）位移解位移的坐标变换刚体位移与极角坐标无关的弹性力学问题（4）位移轴对称问题：结构、荷载和约束都是轴对称的，所有的物理量都与正向坐标无关。轴对称位移场应力场实心物体r=0时，应力有限与极角坐标无关的弹性力学问题（5）位移场应力场边界条件应力解受内外压作用的圆环（平面应力）或圆筒（平面应变）位移场应力场边界条件解答受内压作用、外部固定的

5、圆筒（平面应变）一个受内压的圆筒埋在无限大弹性体中，外部的弹性体看作外径为无穷大的圆筒，两个圆筒相互接触应力场定解条件力学边界条件完全接触条件：不滑动，不脱离力的平衡条件（作用反作用条件）位移条件弹性接触问题（1）应力解弹性接触问题（2）接触条件的讨论完全接触（法向不脱离、切向不滑动）力学平衡位移连续完全光滑（法向不脱离、切向无摩擦，可滑动）法向力学平衡法向位移连续切向自由不完全光滑（法向不脱离、切向有摩擦，可滑动）力学平衡法向位移连续切向库伦摩擦定律弹性接触问题（3）应力通解位移通解曲梁的纯弯曲（1）定解条

6、件内外边界两侧边界曲梁的纯弯曲（2）独立的定解条件(3个常数、3个独立方程）应力解曲梁的纯弯曲（3）位移定解条件：上端面中点固定，径向微线素不转动位移解曲梁的纯弯曲（4）开口圆环连接的装配问题定解条件装配应力圣维南原理指出远离小孔的地方几乎不受小孔的影响，是单向应力状态习题4-2含小孔平板的拉伸（1）含小孔平板的拉伸（2）问题转化为？①②解答（2）相容方程含小孔平板的拉伸（3）θ的零阶和二阶偏导是cos，一阶偏导是sin解答（2）续应力定解条件含小孔平板的拉伸（4）应力解完整解答周向应力分布含小孔平板的拉伸（

7、5）无限大楔形体楔顶受集中力作用已知量：集中力P、角度β和α量纲分析：PFL-1、αβ1、FL-2、F应力函数相容方程无限大楔形体问题（1）FL-1L无限大楔形体楔顶受集中力作用（续）应力函数应力场两侧的边界条件无限大楔形体问题（2）自然满足！xy无限大楔形体楔顶受集中力作用（续）顶部的合力条件合力矩条件无限大楔形体问题（3）自然满足！平衡条件无限大楔形体楔顶受集中力作用（续）应力解无限大楔形体问题（4）无限大楔形体楔顶受集中力偶作用已知量：集中力偶M、角度α量纲分析：MF、α1、FL-2

8、、F应力函数相容方程无限大楔形体问题（5）无限大楔形体楔顶受集中力偶作用的定解条件结构对称，荷载反对称应力场应力函数是奇函数yxM无限大楔形体问题（6）无限大楔形体楔顶受集中力偶作用的定解条件（续）两侧的边界条件应力场由两侧的边界条件可得到可以不用反对称条件确定A无限大楔形体问题（7）无限大楔形体楔顶受集中力偶作用的定解条件（续）顶部的合力条件顶部的合力矩条件无限大楔形体问题（8）无限大楔形体楔