《正、余弦定理的应用举例》导学案

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1、《正、余弦定理的应用举例》导学案考纲要求进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量和几何计算有关的实际问题；教学重点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题教学难点　如何建立解三角形模型的问题教学过程设计一、回归课本，引入课题１、正弦定理　　　　　＝　　　　　　＝２Ｒ，其中２Ｒ为△ABC外接圆的直径。变式：=,=,=.：：=::.２、余弦定理　;;.变式：cosA=;cosB=;cosC=.３、解三角形（１）已知三边，运用　　　　　　　　求三角；（２）已知两边及夹角，运用　　　　　　　　可求第三边；（３）已知两边

2、及一边对角或已知两角和一边，运用　　　　　　　可解三角形。４、三角形常用面积公式（１）Ｓ＝　　　　　　；（２）Ｓ＝　　　　　　＝　　　　　　＝＝（３）Ｓ＝（r为内切圆半径）.前几节课我们复习了正弦定理、余弦定理在解三角形和判断三角形形状中的应用，其实正弦定理、余弦定理在实际测量中也有许多应用，下面我们就来学习它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。一、推陈出新、探究新知题型一　测量距离问题大家之前复习了课本上的例１和例２，比较一下例１和例２，它们有什么联系和区别？例１是测量从一个可到达的点到　　　　　　　的点之间的距离的问题；例２是测量两个　　　　　　　之间的距离的问题。这类实际

3、应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解。注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当。例１某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时，测量得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如下图，求炮兵阵地到目标的距离。题型二　测量高度的问题课本上的例３、例４、例５是有关测量底部不可到达的建筑物的高度的问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决，但常常用正弦定理和余弦定理计

4、算出建筑物顶部或底部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。这类实际应用题，有两处易错点：一是弄不清楚图形是空间关系还是平面关系，从而致错；二是对仰角、俯角等概念理解不够清楚，从而把握不准已知条件而致错。例２　如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D。测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，求旗杆高AB。【变式】：在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为２θ，再向塔底前进m，又测得塔顶的仰角为４θ，则θ为多少？塔的高度为多少？题型三　测量

5、角度的问题例３（2010，福建高考）　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度v的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。一、巩固小结　反馈训练应用正、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤是：（１）分析：理解题

6、意，分清已知和未知，画出示意图；（２）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（３）求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（４）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。反馈训练：资料第５８页的教材回归和后面的练习。