经济数学第三章积分学及其应用

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1、第三章　　积分学及其应用在这一章中，我们将讨论一元函数积分学．积分学中有两个基本概念，定积分与不定积分．定积分是一种具有确定结构的和的极限，它有着很强的实际背景，在几何、物理及经济分析等方面都有广泛的应用．不定积分则是求导和微分运算的逆运算．定积分与不定积分之间，存在着非常密切的联系．3.1定积分的概念与性质一．定积分产生的实际背景1.曲边梯形的面积我们将由曲线及轴所围成的平面图形称为曲边梯形．（图3.1.1）图3.1.2图3.1.1我们过去已经学会求多边形及圆形的面积，但不会求曲边梯形的面积．下面我们讨论曲边梯形面积的求法．（图3.1.2）（1）分割．用个分点把区间分割成n个小区间，,,,

2、各小区间的长度依次为：.相应的曲边梯形被分割成个小曲边梯形．（2）求和．在每个小区间上任取一点用小矩形面积,代替第个小曲边梯形的面积，并作和式即得到曲边梯形的面积的近似值．（3）取极限．令小区间长度最大值趋于零（即），取极限，得曲边梯形的面积．2..求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程．思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割．；（2）求和．其中，为部分路程的值，是某时刻的运动速度．（3）取极限．令得路程的

3、精确值　．二．定积分的概念与几何意义一般地，如果函数在闭区间上连续，则和式极限存在．此时，我们把和式极限的值称为函数在闭区间上的定积分，记作，即其中称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间，函数称为被积函数，称为被积表达式，“”称为积分号．例1.利用定义计算定积分．解　用分点把区间等分，则取那么；因此所以＝．从曲边梯形面积的计算可以看出：当时，定积分表示由曲线，及ox轴所围成的平面图形的面积，即＝．当时，＝．因此，定积分的几何意义为：它是介于曲线，及轴之间的各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号；在轴下方的面积取负号．如图3.1.3．O++_图3.1.3三．定积分的基本性质(

4、1)当时，；当时，；(2)当时，；（3）；(4)(为常数).(5);（6）如果在区间上有则(7)如果在区间上，则．(8)（估值定理）设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则　　(9)（积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得.（图３.1.4）o图3.1.４3例2．比较积分值和的大小．解　在区间上，，由性质（6）知，．例3.估计的值.解　令，求导得．令　，得　．由，，，得在闭区间上最大值，最小值，由性质（８），有．以上定积分的性质(1)可根据定积分的定义进行证明，性质(2)～(9)均可借助图形说明它们的正确性，这些工作留给同学们去完成．3.2微积分基本公式在第一

5、节中我们看到，定积分是一种特定的和式的极限，直接用定义计算是十分麻繁的．本节将通过对原函数的讨论，引入不定积分的概念，并通过牛顿-莱布尼兹公式，导出一种计算定积分的简便有效的方法．一．原函数与不定积分定义1.　如果在某一区间内，函数的导数为，即，则称函数是函数的一个原函数．实际上，如果，则有（C是任意常数），所以都是函数的原函数．可以证明，如果是的一个原函数，则的所有原函数可以表示为，（C是任意常数）定义2.　函数的所有原函数，称为的不定积分．记作即，如果　　则＝，（C是任意常数）．例如，因为，所以是的一个原函数，表示了的所有原函数，所以是的不定积分．即．模仿上面例子，完成下列各题填空：(1

6、)　因为，所以是函数的一个原函数，表示了函数的所有原函数，所以是的不定积分．即．(2)　因为，所以是函数的一个原函数，表示了函数的所有原函数，所以是的不定积分．即．(3)　因为，所以是函数的一个原函数，表示了函数的所有原函数，所以是的不定积分．即．(4)　因为，所以是函数的一个原函数，表示了函数的所有原函数，所以是的不定积分．即．例１.求函数的不定积分．解　因为，当时，　则有　，当时，　则有　，所以，　．一．牛顿－莱布尼兹公式设函数在区间上连续，为区间内任意一点，记，则可以把看作积分上限的函数．可以证明：．因此，函数是的一个原函数．如果也是的一个原函数，则有，将代入，得，从而　，即有，将代入

7、上式，则有，将记为，则有．这就是牛顿－莱布尼兹公式，又称为微积分基本公式．这个公式表明，计算定积分，只要求出的一个原函数，并计算的值即可．牛顿－莱布尼兹公式建立了定积分与不定积分之间的联系，简化了定积分的计算，从而使积分学在各个科学领域内得到广泛的应用．例2．求下列定积分：(1);(2);(3);解：(1)因为，所以，所以．(2)因为，所以　，所以．(3)因为　　所以　．3.3不定积分的基本公式和直接积分法从