经济数学基础积分学之第章 积分应用

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1、经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用第一单元积分的几何应用一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而计算平面图形的面积二、内容讲解积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质．先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近

2、似值．将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即yxOabxx+Δx 　　图形的面积近似为小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．如果用表示图形的面积，由定积分的定义可知从这个问题的解决可以看出，当时，的几何意义就是由曲线与轴及直线所围的平面图形的面积．通过例子说明：当时，——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用的几何意义就是表示由曲线与轴及直线所围的曲边梯

3、形的面积．再来看一般的情况，计算如下图形的面积yxOab 　图形上面的曲线为，下面的曲线为，由定积分的几何意义可知图形的面积为或表示为一个积分是在对称区间上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是yxO－aa这个结论可以由几何直观加以证yxO－aa　——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用从上图可以看出，当是奇函数时有；当是偶函数时有．问题思考1：直线与轴是什么关系？答案直线就是轴．问题思考2：圆心在原点的单位圆的方程是什么？yxO12答案圆心在原点的单位圆的方程是三、例题讲解例1三角形底为1

4、，高为2，求三角形的面积．解：按三角形面积公式有用定积分计算（如图） 例2梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．yxO122解：按梯形面积公式有用定积分计算（如图）例3求半径为2的圆的面积．解：按圆的面积公式有yxO2用定积分计算（如图）令，则，——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用时；时．例4求由，及轴和轴围成的平面图形的面积．解：平面图形如图所示yxO112例5求由，轴在区间上围成的平面图形的面积．yxO1π/2解：平面图形如图所示 例6求由，所围成的平面图形的面积．解：平面图形如图示，在区间上yxO

5、11在区间上 由此得——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用例7计算解：因为都是偶函数，是奇函数．所以是偶函数，是奇函数．由此得 四、课堂练习练习1求由曲线与轴及直线围成的曲边梯形的面积．一条曲线与轴在区间上所围成的面积表示为要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．考虑在区间内是否与轴有交点，有则变号，没有则不变号．与轴的交点为，在区间内．在区间上，在区间上练习2求由曲线与直线围成的平面图形的面积求与的交点，确定积分限．两条曲线与所围成的面积表示为其中积分上下限是两曲线相距最远的两个交

6、点的横坐标（如果有第3条曲线则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．五、课后作业1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用（1）；（2）.2．求由下列曲线所围平面图形的面积：（1）直线；（2）与；（3）与轴，在区间上.3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：（1）；（2）；   （3）.1．（1）；（2）2．（1）；（2）；（3）23．（1）0；（2）8；（3）4第二单元积分在经济分析中的应用一、学习目标通过本节课的学习，了解已知边际函

7、数求原经济函数的方法．二、内容讲解若某产品的销售曲线为，它表示该产品在单位时间里的销售额．考虑从到时间段内的销售总额．如果在到时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数．但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算．利用定积分的思想，把时间间隔分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为则在到时间段内的销售总额可近似为——15——经济数学基础之一元函数积分学第3章积分应用最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从到时间段内的销售总额为这

8、样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积分．问题思考：的经济意义是什么？答案，它的经济意义是当产量为0时，利润为全部的固定成本支出三、例题讲解例1若一年内12个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为，求一年内的销售总额．