经济数学基础积分学之第2章定积分

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1、经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分第一单元定积分的定义一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的概念．二、内容讲解定积分的定义：三、例题讲解例题1计算定积分．分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间等分．解：将区间等分，每个小区间的长度为，取为每个小区间的右端点，得积分和——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分计算积分和得（等差数列求和公式．）由此得由定积分的定义可知第二单元N-L公式一、学习目标通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L公式．二、内容讲解1.N-L公式：若是的一

2、个原函数，则对于N-L公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即:若,均为的原函数，则②在公式中如果把换成，就得到由此结果看出，定积分和变上限之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数．在上式左端，积分上限与积分变量的含义是不同的．——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分再由等式右端可知是被积函数的一个原函数．③与完全一样，因为说明定积分与积分变量选取的字母无关．④由N——L公式可得三、例题讲解例1计算．解：因为，它的一个原函数为，得

3、若将原函数换为，同样得例2计算．解：因为，它的一个原函数为，得例3计算．解：——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分例4计算．解：例5计算．解：例6计算．解：四、课堂练习与作业1．设，求.2．利用N-L公式计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.1．；2.（1） （2） （3） （4）第三单元定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，不定积分的性质，熟悉定积分的直接积分法．——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分二、内容讲解1.先回顾不定积分的性质性质1.性质2.定积

4、分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质．2.定积分的性质：性质1.性质2.性质3.证：设是的一个原函数，由N——L公式这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的可以在区间内，也可以在区间外．三、例题讲解例1计算．解：——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分例2 求．解：四、课堂练习与作业1．计算下列定积分（1）；（2）．2．设函数，求．1．（1）    （2） 2.第四单元定积分的换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握定积分的换元积分法．二、内容讲解定积分换元积分法若且当时

5、，；当时，．则三、例题讲解例1计算．——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分解：例2计算．解：令，例3计算．分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．解：令，，且当时，；当时，．得（三角公式）四、课堂练习计算下列不定积分：（1）；（2）．五、课后作业计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分（4）；（5）.（1） （2） （3） （4） （5）第五单元定积分的分部积分法一、学习目标通过本节课的学习，

6、掌握定积分的分部积分法．二、内容讲解1.不定积分分部积分公式：2.定积分有类似的分部积分公式或三、例题讲解例1计算．解：例2计算．解例3计算．解：——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分四、课堂练习设．试求（1）；（2）．变上限定积分是被积函数的一个原函数，因为，所以．五、课后作业计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.第六单元广义积分一、学习目标通过本节课的学习，了解无穷积分及收敛、发散的概念．二、内容讲解定积分是在有限区间上讨论的积

7、分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分：广义积分（或称无穷积分）在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散．三、例题讲解——10——经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分例1计算广义积分．解：例2计算广义积分．解：例3计算广义积分．解：四、课堂练习计算下列广义积分积分：（1）；（2）．对于无穷积分，先求，再求，若此极限存在，它就是所求的积分值．若此极限不存在，则发散．利用凑微分法五、课后作业求下列广义积分：（1）；（2）；

8、（3）．（1）；（2）；（3）发散——10——