2010年数学建模a题论文

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1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本论文中，建立了椭圆柱体罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。在建模和求解的过程中，采用机理分析和统计分析相结合的方法，不仅给出了所有问题的结果，还对结果进行了正确性和可靠性的评估。问题一中，首先用“体积元素法”对纵向变位为的椭圆柱体进行了积分求解并给出了储油量与油位高度及纵向变位参数的解析表达式。接着用实验数据对该模型进行了修正，消除了油罐系统本身引起的误差。经过修正后的曲线和实验样点符合得相当好。最后，用Mathematica软件编程绘出了值逐渐增大

2、时关系曲线的变化趋势图，曲线大致向右下方平移，并给出了罐体变位后高度间隔为1cm的罐容表标定值，见第9页表一。问题二中，首先把实际油罐进行合理的简化，将它两边的球冠用等体积的圆柱体代替，这样一来，实际油罐便等效为圆柱体。因为圆柱体是椭圆柱体的特殊情形，所以我们直接用问题一中建立的模型给出了该圆柱体罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。其中的影响同模型一，逐渐增大时关系曲线大致绕着某点顺时针旋转。但对关系曲线的影响要强于。接着用“最小二乘法”的方法，建立确定变位参数的一般模型。通过计算机

3、编程粗略计算求出的近似取值在区间[2.1°,2.3°]，的近似取值在区间[0°,1°]。再经过精细计算，求出的的最优值为2.12°，的最优值为0°。由此可见，对的关系的影响占主导位置，的影响可以忽略不计。最终，给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，见第15页表二。通过计算，我们给出问题二中理论曲线和实际散点的均偏差为=0.045871升，说明：当，时，我们的模型与实际情况符合的很好。尽管在曲线的边缘上有点误差，但作为近似是相当不错的。关键字机理分析统计分析体积元素法最小二乘法罐容表标

4、定16一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端

5、为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油

6、位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设（1）不考虑出进油管的厚度；（2）储油罐的厚度均匀；（3）罐体只发生纵向变位和横向变位，不考虑自身形变；（4）实际情况中和的值比较小。三、符号说明：油罐的储油量：罐内油位高度：体积积分的下限：体积积分的

7、上限：纵向倾斜角度：横向偏转角度：柱体的长度四、问题的分析与简化根据题目的要求，我们在建模中需要给出一般椭圆柱体（特殊为圆柱体)罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。为了求出储油量和油位高度之16间满足的函数关系，我们可以利用微积分学中的“体积元素法”进行积分求解。如果积分式是简单的，我们可以直接套用积分公式，给出关于的精确解析式；否则，我们可以借助计算机编程实现复杂函数的积分，给出近似的数值解。求出了之后，我们还要根据实际数据求出和的值。为此，我们可以利用统计学中“最小二乘法”求极值

8、的方法，给出确定变位参数的一般模型。我们采用的这种机理分析和统计分析相结合的方法，不仅可以给出所有问题的结果，还可以对结果进行正确性和可靠性的评估。四、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立（1）椭圆罐体无变位情形我们把椭圆球罐抽象成椭圆柱体，其底面为椭圆，并忽略它的厚度等次要因素。如图5.1.1所示建立空间直角坐标系，其中坐标原点，点，点，点分别为图中矩形轴截面的左下顶点，右下顶点，左上顶点和右上顶点，油浮子的位置记为点，油位探针与椭圆柱体下表面的交点记为点，水面与