简单的三角恒等变换学案

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1、学案22　简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠＋且α≠kπ＋)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sinαcosα＝_____________

2、_______⇒cosα＝；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我检测1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是(　　)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π

3、的偶函数2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为(　　)A．－3,1B．－2,2C．－3，D．－2，3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是(　　)A．－1B．－C.D．14．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA·sinB(　　)A．有最大值，最小值0B．有最小值，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值，无最小值探究点一　三角函数式的化简例1　求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1　(2011·泰安模拟)已知

4、函数f(x)＝.(1)求f的值；(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二　三角函数式的求值例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tanα－－1的值．变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cosα＝，求的值．(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．探究点三　三角恒等式的证明例3　(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(

5、2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3　求证：＝.转化与化归思想的应用例　(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝sin2x＋msinsin.(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝，求m的值．【答题模板】解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝＝，[3分]由已知x∈，得2x－∈，[4分]所以sin∈，[5分]从而得f(x)的值域为.[6分](2)f(x)＝sin2x＋sinxc

6、osx－cos2x＝＋sin2x－cos2x＝[sin2x－(1＋m)cos2x]＋，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝－.[10分]所以＝＋，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值

7、中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值

8、和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除