4-2 绘制根轨迹的基本法则

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1、4.2根轨迹的绘制低阶系统（如二阶系统）解析法求根轨迹（【例4.1.1】）高阶系统根轨迹绘制法则，8条14.2.1绘制根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性分支数＝MAX（n,m）特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称于实轴特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数，因此根轨迹连续2法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点证明：根轨迹起点:根轨迹终点:因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有n个根所以，根轨迹起于开环极点？有几个根3根轨迹方程又可以写为（K*≠0）所以根轨迹终于开环零点4一般情况下有n-m条根轨迹

2、终于无穷远处将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终止于开环零点如果包括无穷零点，则有：开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数5法则3：根轨迹的渐近线当时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向于无穷远处，且有6证明：角度的简单证明无穷远处的一个闭环特征根与有限零点和有限极点所成角度相同，都设为相角条件根轨迹对称于实轴，也可写为交角有n-m个，交点只有一个7【例4.2.1】一个系统开环传递函数为根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性解：1)根轨迹起始于开环极点2)根轨迹有4条，且对称于实轴终于开环无穷远

3、零点和有限零点83)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为与实轴交角为9例4.2.1的根轨迹开环极点用×表示开环零点用○表示有三条渐近线一条根轨迹起于p1,终止于z1其他三条终止于无穷远处100法则4：实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：根轨迹上的点必须满足相角条件11实轴上的根轨迹（p4,z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3个（p1,z1）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点12法则5：根轨迹的分离点与分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根

4、轨迹的分离点（会合点）若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根13分离点的坐标d是可由如下方法确定：分离角为为分离的根轨迹条数（一般情况下l=2）,k=0,1,…，l-1(1)公式法（凑试法）14闭环特征方程：即：(2)重根法(3)极值法分离点分离点15-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1?4.2.2???RealAxisImaginaryAxis???d=-2.47,K*=0.419【例4.2.2】绘制开环

5、传递函数的根轨迹草图解:(1)实轴上根轨迹(z1,p1)之间有根轨迹，而且没有分离点，所以起于p1，终于z1(p2,p3)之间有根轨迹，且有分离点(2)(p2,p3)之间的分离点分离角16（3）n-m=2,有2条根轨迹趋于无穷渐近线的参数为（4）分离点处的根轨迹增益K*-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1?4.2.2???RealAxisImaginaryAxis???d=-2.47,K*=0.41917法则6：起始角与终止角起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度其中18终止角（

6、入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度其中19证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起始角，则正负一样其中20整理即得终止角的证明类似21-4-3-2-101-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5p1=-1+jp2=-1-jz1=-2ImaginaryAxis【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图解：（1）有根轨迹，且有会合点，分离角为RealAxisd=-3.414尝试其它方法22（2）p1点的出射角为根轨迹的复平面部分是以零点到分离点距离为半径的圆周的一部分23法则7：根轨迹与虚

7、轴的交点即有纯虚根，此时K*使系统处于临界稳定状态两种计算方法：劳斯稳定判据计算临界增益采用代入法计算24【例4.2.4】已知某单位负反馈系统的开环传递函数，试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K*解：闭环特征方程为Gk(s)25计算劳斯表用s2行构造辅助方程26所以，与虚轴的交点为，临界增益为6或者将直接代入特征方程，得27法则8：闭环极点的和当时，开环极点之和等于闭环极点之和，即由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面上左移时，另外某些极点必然右移28证明：当时，系统闭环特征方程29根轨迹绘制规则总结序内容规则1分

8、支数对称性等于开环传递函数的极点数（nm）对称于实轴2起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）3实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：30序内容规