2绘制根轨迹的基本法则

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1、4.2绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益（或开环增益）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。法则1根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有条根轨迹终止于无穷远处。根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益和时的根轨迹点。将幅值条件式（4-9）改写为(4-11)可见当s=时，；当s=时，；当

2、s

3、且时，。法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数、开环极点数中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。根

4、轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。由对称性，只须画出平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数，从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。法则3实轴上的根

5、轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。设系统开环零、极点分布如图4-5所示。图中，是实轴上的点，是各开环零点到点向量的相角，是各开环极点到125点向量的相角。由图4-5可见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括点）的向量之相角和为。对复数共轭零点，情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图4-5中，点左边的开环实数零、极点到点的向量之相角均为零，而点右边开环实数零、极点到点的向量之相角均为，故只有落在右方实轴上的开环实数零、极点，才有可能对的相角条件造成影响，且这些开环

6、零、极点提供的相角均为。如果令代表点之右所有开环实数零点到点的向量相角之和，代表点之右所有开环实数极点到点的向量相角之和，那么，点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成立：（）由于与表示的方向相同，于是等效有：（）式中，、分别表示在右侧实轴上的开环零点和极点个数。式中为奇数。于是本法则得证。125不难判断，图4-5实轴上，区段，以及均为实轴上的根轨迹。法则4根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数大于开环零点个数时，有条根轨迹分支沿着与实轴夹角为、交点为的一组渐近线趋向于无穷远处，且有=0，±1，±2，…（4-12）证明渐近线就是s→∞时的根轨迹，因此

7、渐近线也一定对称与实轴。根轨迹方程式（4-8）可写成==(4-13）式中，，分别为系统开环零点之和及开环极点之和。当→∞时，由于，应有→∞。式（4-13）可近似表示为即有或将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有令125有以，代入上式，有这就是当→∞时根轨迹的渐近线方程。它表明渐近线与实轴的交点坐标为渐近线与实轴夹角为（=0，±1，±2…）本法则得证。例4-2单位反馈系统开环传递函数为试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。解将开环零、极点标在s平面上，如图4-6所示。根据法则，系统有4条根轨迹分支，且有=3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线

8、与实轴的交点及夹角为三条渐近线如图4-6所示。法则5根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标是方程（4-14）125的解。证明由根轨迹方程（4-8），有所以闭环特征方程为或（4-15）根轨迹在s平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为，根据代数中重根条件，有或（4-16）将式（4-16）、式（4-15）等号两端对应相除、得（4-17）有于是有125从上式解出的中，经检验可得分离点。本法则得证。例4-3控制系统开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹。解将系统开环零、极点标于s平面，如图4-7所

9、示。根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有=2条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘制如下：⑴实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段为：，⑵渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角为⑶分离点：根据法则5，分离点坐标为经整理得故，，，显然分离点位于实轴上间，故取。根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-7所示。法则6根轨迹与虚轴的交点：若125根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交点的坐标值及其相应的值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应值下处于临界稳定状态，故亦可

10、用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的值。此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。例4-4某单位反馈系统开环