4-2 根轨迹绘制的基本法则

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1、例4-2-2要求画出根轨迹。某单位反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，0●-5××-2-10ק3绘制根轨迹图的基本规则规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次=开环极点数例规则二、根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须起始于Kr=0处，终止于Kr

2、=∞处。观察幅值条件：分三种情况讨论：如果n=m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。如果n>m,m条根轨迹趋向开环的m个零点（称为有限零点）,而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。如果n

3、，且对称于实轴。证明：（1）连续性系统开环根轨迹增益Kr(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。证明：（2）对称性由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此,根轨迹总是对称于实轴的。规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。例如系统的开环零、极点分布如图。×××●××﹣1﹣2﹣5●要判断和之间的线段是否存在根轨迹，取实验点开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G

4、(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零，相角条件由其右边的零极点决定。奇数个π，无论如何加减组合，总能使±lπ(l=1,3,…)成立。对于例题，在实轴上的根轨迹：一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数0×××●﹣1﹣2﹣5渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的交点为：l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、证明：

5、见图4-5。●对于位于根轨迹上某一动点s0，●从各开环零极点到这一点的向量的相角随s0轨迹的变化而变化，●当s0到达无穷远处，各相角相等，令其为ψ，可写成：●进而求出渐近线夹角：图4－5×××●●××●0﹣1﹣2﹣5由对称性知，渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标对例4-2-2，交点坐标为：即（1，j0）。渐近线与实轴夹角为：1×0××●﹣1﹣2﹣5规则六、当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会合点，大多发生在实轴上（仅讨论实根）。性质：在此点上必出现重根。利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻极点

6、间时，必有一分离点。若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零点）时，必有一会合点。根轨迹的分离点与会合点：分离点与会合点是方程式的根。根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。分离点－最大值，会合点－最小值。××Kr=0Kr=0Kr=∞Kr=∞分离点会合点由求极值的公式求出：它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)在实轴根轨迹上，求使Kr达到最大（最小）值的s值:注意：求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。求出重根角为:在例题4-2-2中，解出：对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。-0.

7、447求出重根角为:×××●0﹣1﹣2﹣51规则七、根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值利用劳斯判据求出。根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：即：劳斯行列式当6-2Kr=0时，特征方程出现共轭虚根，求出Kr=3。虚根可利用s2行的辅助方程求出：－与虚轴的交点×××●0﹣1﹣2﹣51与虚轴的交点为例4-2-2的根轨迹如图。Kr=.084﹣.4471、画出开环零极点2、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（n≠m）5、求分离点6、求与虚轴交点7、