4-2根轨迹法绘制的基本法则2

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1、第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则4-3广义根轨迹4-4线性性能的分析4-2.绘制根轨迹的基本法则1．绘制根轨迹的基本法则2.闭环极点的确定法则1：根轨迹的起点和终点。根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。1．绘制根轨迹的基本法则当n>m时，n-m条根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点（称为无限零点）。法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m、开环有限极点数n中的大者相等，连续对称于实轴。法则3：根轨迹的渐近线当n>m时，有n-m条根轨迹趋于处，必须

2、确定这些轨迹的趋向才能较准确地绘制根轨迹。交点为的一组渐近线趋向无穷远处：当K*时，有n-m条根轨迹分支沿着实轴夹角为、法则4：根轨迹在实轴上的分布在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。简记为“奇是偶不是”。法则5：根轨迹的分离点与分离角。(1)定义：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。(2)性质：a.分离点实质上就是特征方程重根的情况；c.若在实轴上两个相邻的开环极点（其中一个可以是无限极点）之间的区域为根轨迹区间，则在这

3、区间内至少有一个分离点。若在实轴上两个相邻的开环零点（其中一个可以是无限零点）之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至少有一个分离点。b.因根轨迹对称于实轴，故分离点或位于实轴上，或以共轭的形式成对出现在复平面上。(4-20)式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；分离点的坐标d是下列方程的解：(3)求解：图4-8实轴上根轨迹的分离点(4)说明：a.分离点方程有时可能是高阶方程，故求解时可用试探法。另外，分离点方程的解，不一定都是分离点，要结合图逐个检验。若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间内，若为复分

4、离点，则应满足2kπ的相角条件。分离角为：b.若系统无开环有限零点，则方程为：c.分离角：根轨迹的进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角，称为分离角。其中，l：为进入并立即离开分离点的根轨迹分支数;k=0,1,…,l-1。d.判断分离角的简便方法：在分离点处，多条轨迹分支的切线将360°角平分。故只要知道其中一条，其余几条不难画出。图4-8实轴上根轨迹的分离点复平面上的分离点-1j01-1-2-3例4-1.设系统结构如图，试绘制其概略根轨迹。解：画出s面上的开环零点-1，极点（0，-2，-3）。由法则4，

5、实轴上[0，-1]，[-2，－3]是根轨迹。由法则2，该系统有三条根轨迹分支，由法则1，根轨迹分别始于0，-2，-3；终於-1和两个无限零点。有两条渐近线：90°-90°交点坐标为：d=-2.47-1j01-1-2-390°-90°由法则5，实轴区域[-2,-3]必有一个根轨迹的分离点d，它满足下述分离点方程：所以分离点为：d-2.47该方程可化为d3＋4d2+5d+3=0其根为：-2.4656，-0.7672j0.7926按上述法则画出根轨迹图：例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：试绘制闭环系统根轨迹。解：在

6、s平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1).实轴(-，-2]为根轨迹。(2).根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终於-2和。(3).在(-，-2]上有一分离点：即解得：，作出该系统的根轨迹如下图所示：-1j01-1-2-2-1+j-1-jd=-3.4141-1-1从数学上可以证明出：由两个极点（实数极点或复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K*从0变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分

7、。法则6:根轨迹的起始角与终止角：例4-3.设系统开环传递函数为：解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j开环极点为0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).实轴上[-2.5,-)，[0,-1.5]为根轨迹。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角，以θpi标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角，以表示。-2-12).根轨迹有4条分支：始于0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5；终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3)

8、.无分离点；4).确定起始角与终止角：-2-1p2z2p1z1z3p3p4s1在p2附近的根轨迹上取一个试验点s1,由相角条件：当s1趋向于p2时，就成为p2处的起始角θp2，则：即起始角：(4-23)同样的方法，可以导出终止角的公式：(4-24)-1-2θ1=108.5°90°59°37°19°56.5°