资源描述：
《用等价无穷小求极限的研究 毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、用等价无穷小求极限的研究摘要：极限的计算方法多样灵活，计算巧妙。等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一。再求和、差函数极限，函数的极限，积分上限函数的极限等方面，等价无穷小的替换具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函数的极限等价无穷小，乘积因子等价无穷小的替换，函数的极限的等价无穷小，积分上限函数极限的等价无穷小，和、差函数极限的等价无穷小的替换。关键词：等价无穷小函数的极限替换级数收敛定义：设函数f(x)在上有意义，若，则称为时的一个无穷小量.证明因为，于是
2、这样例2（1）求解：当时，，.显然与均为比高阶的无穷小，而为比高阶的无穷小量，由定理易知：，12则原式（2）求极限于是解法二：当时，有，于是解法二说明了求“”型的极限时,分子或分母是连乘或连除的形式时，可以把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换.定理3若且对任意的与为等价无穷小量,即且在区间内不变号,则有.再证明之前,先给出两个引理:引理1在自变量的某一变化过程中,函数有极限A的充要条件是其中是自变量同一变化过程中的无穷小量.引理2由积分第一中值定理可知,若与在闭区间上连续，且在上不变号,则在上至少存在一点使得.证明由于即,由引
3、理1得,则,其中满足,则12.由于在区间上不变号,则由引理2得,所以例3求极限解显然在内单调增加,时,和是等价无穷小,由定理3得2乘积因子等价无穷小的替换定理3设是某一变化过程中的无穷小量,极限都存在且不为零，则当且仅当与为等价无穷小量时,有证明：当与为等价无穷小量时,即则.反之若则有.12即与为等价无穷小量.例4定理4是某一变化过程中的无穷小量,,且极限存在,则证明：.例5求解：由于则3型不定式极限的替换定义：重要极限，此类极限可归结为型不定式极限.定理5假设以及并且，则有.证明：由于函数在内连续，因此得：12.证毕.例6求极限解
4、：将极限式做恒等变形：得，由于当时，有，又，因此可得定理6如果在给定的的趋向下，，，，都是无穷小，并且～，～,则在的这种趋向下，极限：.证明：由于.（1）又由于～，～,有：～～～，于是，.（2）有上述两式，定理得证.推论1如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且～，则在的这种趋向下，极限：.推论2如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且～，则在的这种趋向下，极限：12.例7求极限.解：考虑到当时，，应用推论1得：例8求极限解：由于,则,做变量替换：,则原式变为：.因为当时,,则4变上限函数极限的等价无穷小的替换在变上限积分中,如果那
5、么该变上限积分就是一个无穷小,如果能够找出这种类型在变上限积分的等价无穷小,那么在一些极限计算的过程中运用等价无穷小替换的方法,从而使极限的计算得到简化.定理7若函数在处阶可导,且,则当时,变上限积分12与是等价无穷小,即.证明由于,已知条件,可得因此利用洛比达法则可以得到根据定理8,,可以得到以下结论:推论1若函数在处阶可导,且则当时有推论2若函数在处阶可导,且则当时有推论3若函数在处阶可导,且则当时有在定理8中,若取,则可以得到以下结论:12若函数在处阶可导,且,则当时有;特别的,当时,可以得到下面引理:引理若函数在处阶可导,且
6、,则当时有例9求解在中,,当时,;在中,,当时,所以极限定理8设为时的无穷小量,,且与在上连续,则有12证明：因为,所以例10（1）求极限.解由于当时,，定理9若与在上连续,则证明例11(1)求极限.解因为所以当时,,,所以.5，12定理10设为时的同号无穷小量,且则当时,级数与有相同的敛散性.证明（1）当为正项级数时,且对,存在着正整数,当时,有,即,由正项级数比较收敛法知与有相同的敛散性.（2）当为负项级数时,则有为正的,即,同（1）也可以得出具有相同的敛散性.例12求极限.解令,,于是参考文献：[1]同济大学数学教研室.高等数
7、学（上册）[M].北京：高等教育出版社,1996.[2]陈传璋等.数学分析（上册）[M].高等教育出版社,1979.[3]徐志军,张青山.和式极限求法初探[J].四川教育学院学报,2001.[4]李冬梅.一类特殊和式极限的简便求法[J].鞍山师范学院学报,2004.12[5]于延荣.关于等价无穷小代换的若干结论[J].工程教学,2001.[6]杨春林,张传芳.变上限积分的等价无穷小[J].高等数学研究,2004.[7]杨爽.一类变上限积分的等价无穷小量研究[J].科技信息,2010.[8]刘敏,储亚伟.等价无穷小在极限运算中的应用[
8、J].阜阳师范学院学报，2005.1212
