备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题41 妙用线性规划巧解最优化问题

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1、专题41妙用线性规划巧解最优化问题考纲要求:1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．　2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．　3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．基础知识回顾:1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2．二元一次不等式所表示的平面区域一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不

2、包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.4．线性规划中的基本概念约束条件：由变量x，y组成的不等式组.线性约束条件：由x，y的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等；线性目标函数：关于x，y的线性目标函数.可行解：满足

3、线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题应用举例:类型一、二元一次不等式(组)表示平面区域20【例1】【内蒙古呼和浩特市2018届高三11月质量普查考试】已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（）A.B.C.D.1【答案】A【例2】【2017河北正定一中高三月考】不等式组所围成的平面区域的面积为(　　)A．3　　　　B．6C．6D．3【答案】D【解析】如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,

4、0)，B(4,4)，C20(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.图2【例3】如图2阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为__________．　【答案】类型二、求线性目标函数的最值【例4】【2018年高考2017年11月份衡水联考文数】若实数，满足不等式组则的最大值为（）A.12B.10C.7D.1【答案】B【解析】作出可行域：当动直线经过C点时，z最大，即故选：B20点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线

5、时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【例5】【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】9【例6】【2017四川省成都市高三摸底】若实数满足条件，则的最大值是（）A．10B．8C．6D．4【答案】C20类型三、求非线性目标函数的最值【例7】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知变量满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域如图所示又，设，当取

6、可行域内点时，此时取得最大值，由，得，此时，所以的最大值为．20【例8】【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试】已知变量满足则的最大值为（）A.2B.C.D.1【答案】A类型四、求参数的值【例9】【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】已知实数，满足20，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】D点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的

7、最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．【例10】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段考试】若满足，且20有最大值，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【例11】【2017江苏省泰州中学高三摸底】已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是．【答案】【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此,因为在上单调递增，所以，不等式恒成立等价于20点评：线性规划问题，首先明确