奥数第四讲 定义新运算

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1、奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。一、例题与方

2、法指导例1、设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。解5△6=5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。例2、对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。思路导航：先做括号内的运算。解：（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79说明本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3、已知2△3=2×3×

3、4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）。思路导航：原式=6×7--5×6=336-30规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。例4、已知1△3=1+2+3=6，求1△100的值。已知x△10=75,求x.思路导航：（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,所以：10X+(1+2+3+…+9)=7510x+45=7510x=30x=3例5、定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b

4、为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，

5、有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a⊙b=b⊙a。例6、对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；（2）f（g（2））+g（f（2））=f（2×2）+g（2×2+1）=f（4）+g（5）=

6、（2×4+1）+（5×5）=34；（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。一、巩固训练1、若对所有b,a△b=a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。求（1△4）☆2的值。2、如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。3、对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。4、对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。5

7、、定义：a△b=ab-3b，a⊙b=4a-b/a。计算：（4△3）△（2⊙4）。6、已知：2◎3=2×3×4，4◎5=4×5×6×7×8，……求（4◎4）÷（3◎3）的值。7、定义两种运算“※”和“△”如下：a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.