奥数：定义新运算

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1、定义新运算知识结构一、定义新运算（1）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。（2）基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。（3）关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。（4）注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不

2、同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类（1）直接运算型（2）反解未知数型（3）观察规律型（4）其他类型综合重难点（1）正确理解新运算的规律。（2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。（3）新运算也要遵守运算规律。例题精讲【例1

3、】对于任意两个数，定义新运算◆和，规则如下：◆=，.如：◆=，.由此计算：◆【巩固】对于任意两个数，定义新运算，运算，规则如下：◆=，.按此规则计算：◆=__________,◆【例2】如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即⑴；⑵。现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：。例：请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。【例1】用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。【例2】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相

4、连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A表示：2+3，B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算结果是________。【例1】对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。【巩固】x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=k

5、xy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【例2】喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求个正整数的值。当它依次按了得到数字。而当它依次按时，惊讶地发现得到的数值却是。这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正确的结果为。（填出所有可能情况）【例3】国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN7-107-

6、17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；②207÷11＝18……9；   ③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。【例1】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“

7、华杯赛”新的编码是________.【例2】已知：10△3=14，8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果△=1，那么=.【例3】表示成;表示成.试求下列的值:(1)(2)(3);(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.【例1】对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知1075，求为多少？⑶如果（3）2121，那么等于几？【巩固】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8级）(1)求1991

8、☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【例2】设a,b是两个非零的数,定义a※b.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【巩固】定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14