资源描述：
《第三讲 复数域上的极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三讲复数域上的极限与连续一．定义距离(两个复数之间的距离)两个复数的距离为.有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论(如图2.1).二．复数序列的极限复数列,存在,使得对,当时,有.图2.1引理若,则.三．复函数的极限定义设单值函数,是D的一个聚点(非孤立点).若对于,,当时,有,则称当时以A为极限,记为.引理设,,则有.四．复函数的连续定义设定义在复数集D上,是D的一个聚点,若,则称在点连续.注:若点是D的一个孤立点,则在点连续.引理复函数在点连续函数在点连续.复函数在点集D上的每一点连续,则是D上的连续函数.五．复级数定义设复数列,复数项级数的前项之和,然而得部分和序列,
2、级数和,即.引理复数列,若,,有.绝对收敛:级数收敛,则称绝对收敛.级数绝对收敛当且仅当级数和级数收敛.六．复函数列设复函项级数,在点,使复数列收敛,则称复函数列在点收敛,称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.复函项级数绝对收敛收敛.补充内容:实数域上有下面把上面的情况推广到复数域上:(1)形式上的令()由得.下面是对Euler公式的严格定义和证明:设,对,令得到序列,不妨设,那么(1)再对实数序列进行分析,收敛于,因为收敛,由柯西准则有由(1)可知也是柯西序列,所以收敛.记的极限为,即定义级数收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.(2)形式上的令定义序列,利用上面同样的方法
3、,可得(3)同理,也有由(1)(2)(3)得证(Euler公式).练习:1.设(1)表示为实部虚部的形式;(2)求;(3)求的Euler指数表示;(4)的三角表达式;解(1),.(2);.(3).(4).2.求(1);(2);(3);(4).解(1).(2).(3).(4).3.(1);(2);(3).解(1)当时,;当时,;当时,.(2).(3).
