高三高考复习数学专题学案：《排列 组合 二项式》——《两个计数原理》

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1、第1课时两个计数原理基础过关1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．典型例题例1.高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,5

2、2人(1)从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2)从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3)从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4)从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种（2）48×50×52＝124800种（3）（4）变式训练1：在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（）A、25个B、36个C、100个D、225个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2

3、条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有个，故选D。例2.(1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？(2)设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？(3)随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)解：（1）65（2）27（3）电话号码首位不为0：9×107－9×106＝8.1×107

4、变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法?⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色,则有多少种不同的着色方法?解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有种着色方法.⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;因此满足条件的着色方法共有种着色方法.例3.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（）DAA、8种B、1

5、2种C、16种D、BC解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法变式训练3：某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．例4.如图，小圆圈表示网络的

6、结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（）A、26B、24C、D、193512B46A676128解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：第一类：1253第二类：1264第三类：1267第四类；：1286可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分

7、类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D变式训练4：7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。于是，我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。即有=法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有球放法。注；（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。（2）隔板法只能用于

8、“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用.两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．