高三第一轮复习：正余弦定理、解斜三角形

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1、年级高三学科数学版本通用版内容标题高三第一轮复习：正余弦定理、解斜三角形编稿老师吴兆甲【本讲主要内容】正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1.三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a、b、c，三个内角分别为A、B、C，高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r。（1）S△=aha=bhb=chc（2）S△=absinC=acsinB=cbsinA（3）S△=Pr（其中P为周长之半，r为内切圆半径）（4）2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==（＝2R）。（其中R为外接圆半径）利用正弦定理，可以

2、解决以下两类有关三角形的问题。（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（从而进一步求出其的边和角）3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2－2bccosA；①b2=c2+a2－2cacosB；②c2=a2+b2－2abcosC。③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2。由此可知余弦定理是勾股定理的推广。由①②③可得：cosA=；cosB=；cosC=。利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三

3、边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。第17页版权所有不得复制4.强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC的形状：△ABC为直角△A+B=>△ABC为钝角△A+B＜<∠ACB为锐角（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。一定过的中点，通过的重心；是的重心；外心：三角形三边垂直平分线相交于一点。在中，是的外心；内心：三角形三内角的平分线相交于一点。向量必通过的内心；是的内心；垂心：三角形三边上的高相交于一点。是的垂心。（3）特别提示：两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函

4、数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。（4）已知两边和其中一边的对边解三角形用正弦定理有两解、一解、无解三种情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”：设△ABC中，已知a、b、A，则　sinB＝。（1）A为锐角时①a＜bsinA时，sinB＞1，无解；②a＝bsinA时，sinB＝1，B＝90°，一解；③bsinA＜a＜b时，两解；④a≥b时，一解。（2）A为直角或钝角时①a≤b时，无解；②a＞b时，一解。【解题方法指导】例1.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状。分析：根据所给条件确

5、定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。并常用正弦（余弦）定理实施边角转化。第17页版权所有不得复制解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2所以△ABC是直角三角形评讲：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题也可以从已知条件利用三角变换推出cosA=0。例2.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B。剖析

6、：研究三角形问题一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC－=sinBsin（A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B）因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0。所以sin（A－B）=sinB所以只能有A－B=B，即A=2B。思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a2

7、=b（b+c），得：cosA===cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=所以cosA=cos2B因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a2=b（b+c），得=①第17页版权所有不得复制作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD。①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC。所以∠1=∠D。又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1所以A=2B评述：利用正弦定理，需要把命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三

8、角公式变换求解。利用余弦定理，需要把命题中角的关系转化为关于边间代数式关系，从而