三角函数解题应用分析论文

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1、三角函数解题应用分析论文三角函数解题应用分析论文三角函数解题应用分析论文三角函数解题应用分析论文　　三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一，学习时要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。　　一、知识整合　　1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌

2、握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．　　2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．　　二、方法技巧　　1.三角函数恒等变形的基本策略。　　常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。　　项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x

3、)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=－β，β=－等。　　降次与升次。化弦法。　　引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。　　2.证明三角等式的思路和方法。　　思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。　　证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。　　3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。　　4.解答三角高考题的策略。　　发现差异：观察

4、角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。　　寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。　　合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。　　四、例题分析　　例1．已知，求；的值.　　解：；　　(2)　　.　　说明：利用齐次式的结构特点，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。　　例2．求函数的值域。　　解：设，则原函数可化为　　，因为，所以　　当时，，当时，，　　所以，函数的值域为。　　例3．已知函数。　　求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；　　证明：函数的图像关于直线对称。　　解：　　(1)所以的最小正周期，因为，　　所以，当，即时，最大值为；

5、　　(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，　　因为，　　，　　所以成立，从而函数的图像关于直线对称。　　例4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1,　　当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；　　该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？　　解：y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)+++1　　=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+　　=sin(2x+)+　　所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,，即x=+kπ,。　　所以当函数y

6、取最大值时，自变量x的集合为{x

7、x=+kπ,k∈Z}　　将函数y=sinx依次进行如下变换：　　把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；　　把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin(2x+)的图像；　　把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin(2x+)的图像；　　把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。　　综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。　　说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法

8、：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1　　化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0　　∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤　　∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x

9、x=kπ+,k∈Z}　　例5．已知函数　　将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；　　如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函

10、数f(x)的值域.　　解：　　由=0即　　即对称中心的横坐标为