第五章 特征值、特征向量

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1、概念、定理辨析第五章特征值、特征向量判断下列命题的真假，并说明理由，其中矩阵和均为具有适当阶数的方阵。1．如果可逆且1是的特征值，则1也是的特征值。【答案】：正确。【分析】：由（）和A可逆，有。2．如果行等价于单位矩阵，则可对角化。【答案】：错误。【分析】：反例，取，则，但是A只有一个线性无关的特征向量。3．如果有一行或者一列为零，则为的特征值。【答案】：正确。【分析】：因为此时，由特征值的性质，故A有特征值0。4．的每个特征值都是的特征值。【答案】：错误。【分析】：反例，取，则有特征值1和2；但

2、，其特征值为1和4。5．的每个特征向量都是的特征向量。【答案】：正确。【分析】：若（），则。6．可逆矩阵的每个特征向量都是的特征向量。【答案】：正确。【分析】：由（）和A可逆，有。7．特征值必须为非零数，特征向量必须为非零向量。【答案】：错误。【分析】：当方阵A不可逆时，A必有特征值零；但无论如何方阵A的特征向量都是非零向量。8．对应于同一个特征值的两个特征向量总是线性相关的。【答案】：错误。【分析】：当A的特征值的代数重数和几何重数均大于1时，同一个特征值有多个线性无关的特征向量与之对应。例如：

3、由一个二重特征值1，是与之对应的两个线性无关的特征向量。9．相似矩阵和有相同的特征值和特征向量。【答案】：错误。【分析】：两个相似的矩阵有相同的特征值，一般不会有相同的特征向量。因为由以及（），可得。10．矩阵的两个特征向量的和仍为的特征向量。【答案】：错误。【分析】：对应于不同特征值的特征向量之和就不是A的特征向量。11．上三角阵的特征值为其对角线上的非零元素。【答案】：错误。【分析】：上三角阵的特征值为其对角线上元素，无论其是否非零。12．若相同特征值按重数计算，则矩阵和的特征值相同。【答案】

4、：正确。【分析】：因为。13．如果的矩阵不同的特征值少于５个，则不可相似对角化。【答案】：错误。【分析】：A是否可以相似对角化是看A是否有5个线性无关的特征向量，不是看不同特征值的个数是否少于5。14．存在一个在中没有特征向量的矩阵。【答案】：错误。【分析】：任何一个阶方阵均有特征值和特征向量。15．如果可以相似对角化，则的列向量线性无关。【答案】：错误。【分析】：A可相似对角化是指有个线性无关的特征向量，而与A的列向量是否线性无关没有必然联系。16．一个非零向量不能对应于的两个不同的特征值。【答

5、案】：正确。【分析】：因为对应于A的两个不同特征值的特征向量一定线性无关。17．如果的标准基中每一个向量都是的特征向量，则为对角阵。【答案】：正确。【分析】：因为，则。18．如果与一个可对角化的矩阵相似，则也可对角化。【答案】：正确。【分析】：因为矩阵相似是矩阵间的一种等价关系，它是可传递的。19．如果为矩阵，则与相似。【答案】：错误。【分析】：反例，，则，。若与相似，则，但是。故与不相似。【注】：当A或者B可逆时，AB与BA相似，因为若A可逆，则；若B可逆，则。20．如果有个线性无关的特征向量，

6、则是可逆的。【答案】：错误。【分析】：有个线性无关的特征向量只能说明可相似对角化，但不能说明是可逆的。21．如果为可对角化的矩阵，则中每个向量都可以写成的特征向量的线性组合。【答案】：正确。【分析】：因为可对角化，则有个线性无关的特征向量，它们正好构成的一组基。22．如果可对角化，则可逆。【答案】：错误。【分析】：反例，取，则A可对角化，但A不可逆。23．可以对角化当且仅当有个不同的特征值。【答案】：错误。【分析】：可以对角化当且仅当有个线性无关的特征向量。24．如果可逆，则可对角化。【答案】：错

7、误。【分析】：矩阵的可逆和可对角化之间没有必然的逻辑联系。反例，取可逆但不可对角化，而可对角化但不可逆。25．如果有由的特征向量构成的一组基，则可对角化。【答案】：正确。【分析】：如果有由的特征向量构成的一组基，则有个线性无关的特征向量。26．如果，其中是对角阵，则的非零列向量一定是的特征向量。【答案】：正确。【分析】：因为所以，，当时，由特征值和特征向量的定义可知，是对应于的特征向量。