第五章 求矩阵特征值和特征向量

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1、第五章求矩阵特征值与特征向量阶方阵的个特征值就是其特征方程的个根，方程属于特征值的特征向量是线性方程组的非零解。本章讨论求方阵的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。5.1幂法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。5.1.1幂法的基本思想幂法是求实方阵按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量，然后作迭代序列，（5。1）再根据增大时，各分量的变化规律：按模最大的特

2、征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵的按模最大特征值及其特征向量。先看一个计算实例。例1设矩阵用特征方程容易求得的两个特征值为，下面用幂法来计算，取初始向量，计算向量序列，具体结果如表5.1所示.表5.1幂法计算结果01021123151324144567411213651093401223641094考察两个相邻向量对应分量之比：,,,,，,,,,,由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。5.1.2幂法的计算公式为简便起见，设矩阵的几个特征值按模的大

3、小排列如下：其相应特征向量为，并且是线性无关的，因此可作为维向量空间的一组基。任取初始向量，首先将表示为作迭代序列,则…………于是为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论。1.为实根，且21当，充分大时，则有所以，（5.2）2.为实根，且，当不为0，充分大时，则有于是得所以（5.3）3．当充分大时，则有于是得21若令得（5.4）式（5.4）是以为变量，以的几个分量为系数的矛盾方程组。用最小二乘法解矛盾方程组（5.4），求出，然后再解一元二次方程得到的两个根便是的近似值。再由可得和综上所述，可得（5.5）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪

4、种情况。若迭代向各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况;若迭代向量分量变化不单调，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况。215.1.3幂法的实际计算公式当时，若，则的分量会趋于无穷大；若，则的分量会趋于零。因此会使计算机出现上溢或下溢现象。为了防止溢出，可采用如下迭代公式（5.6）式（5.6）的更详细的带计算过程的计算公式为：（5.7）注：当时，按模最大特征值为正，故计算时取,当时，取。由式（5.6）知……（5.8）在式（5.8）两端同乘以，得（5.9）因为21将式（5.8）、（5.9）两端分别取范数后，代

5、入上式得所以当时，（5.10）因此当充分大时，就是按模最大的特征值的近似值。利用式（5.9）可得（5.11）另一方面，有（5.12）……将式（5.12）代入式（5.11），有从而（5.13）这说明归一化向量序列收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当充分大时，就是特征向量的近似值。215.1.4幂法的计算步骤为节省篇幅，这里仅介绍。1．输入矩阵的阶，系数，=，允许误差2．输出特征值和特征向量（）3．计算步骤1)给出迭代先导条件计算公式对应语句s=2*ep;2)用幂法求按模最大特征值及特征向量计算公式式(5.7)对应语句while(s>ep){for(j=

6、1;j<=n;j++)x[i]=x[i]+a[i][j]*y[j];m=fabs(x[1]);p=1;for(i=2;i<=n;i++)if(fabs(x[i])>m){m=fabs(x[i]);P=i;}S=0;for(i=1;i<=n;i++)s=s+(x[i]-m*y[i]);for(i=1;i<=n;i++)y[i]=x[i]/m;}5.1.5幂法的计算实例例2用幂法求矩阵的按模最大特征值和相应的特征向量()。解取，用幂法迭代公式21计算结果如表5.2所示。表5.2幂法迭代公式计算结果表01234561.00001.00001.00002.0000-2.

7、00002.00003.0000-4.00003.00002.5000-3.50002.50002.4286-3.1286-2.42862.4167-3.41672.41672.4146-3.41462.41461.00002.00004.00003.50003.4285703.41673.41461.00000.00001.00001.0000-1.00001.00000.7500-1.00000.75000.7143-1.00000.71430.7083-1.00000.70830.7073-1.00000.70730.7071-1.00000.7071所以

8、。事实上，矩阵的最大特征