排列组合的常见题型及其解法

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1、排列组合的常见题型及其解法一.特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含

2、甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）例2、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位。该台晚会节目演出顺序的编排方案共有多少种？24例3、某单位7位员工在10月1日至10月7日值班，每天一人，若7位员工中的甲乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案有多少种？1008二.相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例4、5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排

3、在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：（种）。三.合并元素法例5、4名大学生到3工厂实习，每个工厂去至少一人，则不同的分配方案有多少种？四.相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例6、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：（种）五.定序问题用除法（缩倍法）对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法

4、是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。例7、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）例8、7人排队，A必须在B的后面，可以不相邻，那么不同的排法有多少种？例8、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行

5、排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?例9、古都西安的名胜古迹“兵马俑”的管理者，为了既方便游人与“兵马俑”拍照留念，又防止毁坏文物特意作了三尊以假乱真的兵马俑，固定在一起排成一排供人留念。现在一个4人旅游团来到这里并且想与兵马俑合影留念，请问当这4人与三尊兵马俑排成一排留影时，有多少种不同的站法？假设每两尊之间有足够的空隙站4人。840六.分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可

6、采取统一成一排的方法求解。例10、9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。七.复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例11、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）A.150种B.147种C.144种D.141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出

7、的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。例12、4人接力，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，共有多少不同的参赛顺序安排方法？例13、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前7为数字固定，后四位为0000到999