第一章极限的概念

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1、第一章極限的概念§1-1數列的極限(甲)極限的概念人類自古即有極限的概念，並且善用這樣的想法獲得許多豐碩的成果，這些成果都是人類文明的珍貴資產。底下列舉幾個例子來說明極限的想法：(1)圓周長與半徑的比為一定值：西元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯(EudoxusofCnidus)便利用極限的概念導出=定值。歐多克索斯的想法：設r,r/分別是圓O、O/之半徑，在這兩個圓內各放一個內接正n邊形將這兩個正n邊形A1A2…An與A/1A/2…A/n的周長分別記為Cn、Cn/==因為DQA1A2與DO/A1/A2/相似，所以=Þ===Þ=，對於所有內接於圓的正n邊形均成立。當「

2、邊數n」逐漸增加，趨近於無窮大時，正n邊形的周長就逐漸趨近於「圓的周長」。因此==定值(與圓的大小無關)這個定值記作p，就是圓周長與直徑的比值，稱為圓周率。(2)圓面積等於半周長與半徑的乘積~1-1-19~「九章算經」中第一章方田之中有計算圓面積的方法，術曰：「半周半徑相乘得積步」(積步就是面積的意思)，換成現在的說法就是圓面積等於半周長與半徑的乘積。一開始「九章算經」並沒有說明理由，直到三國時代(西元263年)中國數學家劉徽給「九章算經」作注時，提出了他的證明。劉徽的想法：設圓內接正n邊形邊長為an，周長ln，面積為Sn，如圖令=an，=a2n，則S2n=(2n)×

3、(DOBC的面積)=(2n)×(×)=(2n)×(×)=(2n)×(an×r)=(n×an)×r=ln×rÞS2n=ln×r劉徽注曰：”割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣”，他的看法是每次將內接正多邊形的邊數增加，邊數越多，正多邊形與圓的面積的差就越少，最後與圓重合成一體，而就沒有誤差了。基本上，從現在數學的眼光來看，劉徽的這段話含有重要的極限思想：ln=圓周長l，S2n=圓面積S，再根據S2n=ln×r，就可得「九章算經」中圓面積等於半周長與半徑的乘積(S=l×r)的法則了。(3)數列的極限：(a)直觀的看法：例如：考慮數列an=，根

4、據之第一冊所學的極限概念，我們可以觀察出隨著n的增加，與0的距離會越來越小，所以可以得到=0的結果。n1120.2530.11111140.062550.0460.02777870.02040880.01562590.012346100.01~1-1-19~110.008264120.006944直觀判定數列的收斂與發散：(1°)收斂的幾個型態：將an逐項畫在數線上，觀察數線上an的行為：單一方向靠近一個定實數：例如：an=1+，，bn=3-()n，。左右振動，並且逐漸靠近一個定實數：例如：an=，，bn=()n，最後在某一點跳動：例如：an=5，(2°)發散的幾個型

5、態：越來越趨向¥或-¥例如：an=n2，bn=-3n左右振動，但越來越分開例如：an=(-3)n在二點或二點以上振動例如：an=2+(-1)n，bn=(b)比較嚴謹的說明數列的極限：更近一步來說，我們要如何來描述「隨著n的增加，與0的距離會越來越小」19世紀的數學家Cauchy是這樣描述的：「考慮與0的誤差=

6、-0

7、=，若要求誤差小於e，那麼n要取得多大才辦得到呢？」e=Þ<Þn³4即可。e=Þ<Þn³11即可。e=Þ<Þn³32即可。…e=Þ<Þn³[]+1即可。(對於任何的正整數k)從上面的討論可以得知，無論我們要使「與0的誤差=

8、-0

9、=~1-1-19~」如何的

10、小，只要把的值取到足夠大就可以辦到，因此Cauchy就利用這樣的說法來描述「隨著n的增加，與0的距離會越來越小」這種直觀的感覺。(c)數列的極限：「無窮數列{an}收斂到a」不論我們要使與a接近到何種程度，即不論我們要使的值如何的小，只要把的值取到足夠大，必可辦到，記作an=a。若一個無窮數列不收斂，我們稱該無窮數列{an}發散。[例題1]設an=1+，計算an與1的誤差e=

11、an-1

12、=，(1)請問n要取多大，才會使得誤差e小於？(2)請問n要取多大，才會使得誤差e小於？(k為正整數)[例題2](1)證明。(2)證明。(練習1)考慮單位圓的內接正n邊形A1A2…An

13、其邊長為an，周長ln分別為~1-1-19~an=2sin，ln=n×an=2nsin，請問2nsin=？Ans：2p，(練習1)(1)=？(2)=？(乙)極限的性質(1)極限的四則運算：給定兩個收斂的數列{an}、{bn}，經四則運算之後，產生下列新的數列：{an+bn}、{an-bn}、{an×bn}、{}(bn¹0)都會收斂。唯一要注意的是，商式中必須附加bn¹0的條件，才能使得收斂。若設{an}，{bn}均為收斂的數列，且，則(a)(b)(c)(d)(bn=b¹0)[說明]：(c)

14、anbn-ab

15、=

16、bn(an-a)+a(bn-b)

17、£

18、b