中学数学课程与教学中的函数及其思想【doc】

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1、中学数学课程与教学中的函数及其思想摘要：代数是中学数学课程中的重要内容，而函数又是代数的核心知识，也是学生学习代数的难点。从中学数学教科书中关于函数概念的几种定义出发，讨论了函数的本质和学习函数的要点以及课程设计的原则。关键词：中学数学；课程；教学；函数20世纪以来，世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。［1］现在，函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。因此，在中学数学课程改革中，理解锱函数思想，把握函数本质，处理好函数的腚教学是很重要的。针对上述问题，我对史赈宁中教授进行了访

2、谈，下面是经过整理后≌的访谈记录。一、函数及其思想?问：函数概念是中学数学中最重要的概耸念之一，函数定义的形成经历了较长的演蔬变过程，您可以谈谈函数定义的发展历史矮吗？8/8▲史教授：是的，函数定义的形⒂成确实经历了较长的时间。即使在今天，敲在我们数学教科书中，函数的定义在初中溷、高中、大学还是有所不同的，这也从一骧个侧面反映了函数定义的发展历史。最初，是德国数学家莱布尼茨在他的一部勤手稿中，用到了Function一词。洽是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如，切线、法线、次切线飘等的长度和纵坐标等，

3、那是在17世纪。乩［2］到了18世纪，贝努利给出了猊函数的解析定义：是由变量x和常数组成勘的式子。欧拉首先给出了函数的变量绩定义：“如果某变量以如下方式依赖于另笨一些变量，即当后者变化时，前者本身也诸发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。”可以看到，我国初中数学教科莘书中关于函数的定义就采用了这一说法。后来，黎曼给出了函数的对应定义：“（我们假定Z是一个变量，如果对它的每一缘个值，都有未知量W的一个值与之对应，氨8/8则称W是Z的函数。”这可以被看作我国憝高中数学教科书中关于函数定义的雏形。到了上个世纪，布尔巴基

4、学派认为，函数的定义应当强调关系，于是借用了笛卡麈儿积：若X、Y是两个集合，二者的笛卡谜儿积是指集合{}，笛卡儿积中的子集F邵被称为x与y之间的一种关系。如果关系碲F满足：对于每一个x∈X，都存在唯一骜的一个Y，使得∈F，则称F是一个函数凝。在美国中学的一些教科书中就采用了这螓种定义，［3］我国的一些大学数学教科患书也有采用这种定义的。［4］有时惬，分别称上述三种定义为变量说、对应说龚和关系说。?问：既然函数的定义可犊以是多样的，那么函数定义的核心思想是郫什么呢？▲史教授：我认为，在整个基础教育阶段数学的核心是研究关

5、系，具体来说研究三种关系，即数量关系、图形蘩关系和随机关系，我在一篇文章中曾经谈娴到这一点。［5］函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这忍8/8就是函数表达的数量之间的对应关系。其谵中有三点是重要的：一是变量的取值是实肾数；二是因变量的取值是唯一的；三是必脲须借助数字以外的符号来表示函数。我想燥，这些就是函数定义的核心思想。关于符岗号表达，无论是借助解析式，还是利用图像或者列表都是可以的。?问：函数告是中学数学的重要内容，您能否谈一下在鲠中学学习函数的重要性？

6、▲史教授：汴在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，这是数学家们长期实践后得出的结论。额克莱因在为中学数学教学起草的《米兰大坡纲》中明确提出：“应将养成函数思想和嚆空间观察能力作为数学教学的基础。”在他的名著《高观点下的初等数学》中，他茹进一步强调用近代数学的观点来改造传统裹的中学数学内容，主张加强函数和微积分≈的教学，改革和充实代数的内容。［6］刚才已经谈到，要表达函数必须借助数字以外的符号。利用符号表达是具有一般喇性的，因此函数表达是数字表达的抽象和轰深化。同时，利用符号进行运算和推理所玮得到的结论也是具有一般性

7、的，正因为这楣8/8一点，使得人们能够借助函数构建模型，鳆能够更好地刻画现实世界中的数量关系，主并且通过数量关系的研究来解释现实世界玲。这不仅仅体现在自然科学、体现在工程锵技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科坞学上：世界万物之间的联系与变化都有可ω能以各种不同的函数作为它们的数学模型砾。这些，又促使数学家们深入地研究各种缳函数的性质、运算以及与空间形式的关联噜，使得数学经历了从常量到变量、从有限邋到无限、从低维到高维的发展，一批新的鼢数学分支应运而生。因此，无论是从数学鸢的应用还是从数学本身的发展上，函数的饶重要性怎么说

8、都不过分。?问：函数榇、方程、不等式都是中学代数的重要数学尢内容，您能否谈一谈它们之间的联系和区源别？▲史教授：函数、方程、不等式挢是从不同角度刻画变量之间的数量关系，居它们之间是有关联的，但又有本质的区别忝。比如，令f=x2-3x-4，这是一婀个函数。表面上看，f(x)=0与方程扮x2=3x+4是等价的，但是二者所