学习目标本章由极限与连续

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1、第二章微分学【学习目标】本章由极限与连续、导数与微分和导数的应用三个板块构成，它们环环相扣，紧密相连.通过本章的学习，可使我们对极限的思想和方法有了初步的认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有了一定的了解.同时，初步掌握微分学的基本知识、基本理论和基本技能，逐步培养我们具有一定的抽象思维能力、比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力.【基本要求】理解极限、左右极限的描述性定义，熟练掌握极限的运算方法和技巧；了解无穷小的概念及其相互间的比较；理解函数连续的定义，掌握函

2、数连续性的判断；理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义并能加以应用，知道可导与连续的关系；熟记导数的基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则，熟练掌握复合函数的求导法则，掌握隐函数的导数计算，了解高阶导数的概念并能作一些简单的运算；了解函数极值和最大值、最小值的概念以及可导函数极值存在的必要条件，能够运用导数判断函数的单调性和极值，熟练掌握简单的应用问题中最大值和最小值的求解方法.2.1极限的概念2.1.1函数极限的概念随着对函数的研究和探讨不断深入，我们除了涉及到前一章所介绍的诸如函数值、定义域、函数的性

3、质和图象、反函数和复合函数等等内容之外，还会进一步讨论当自变量以某种方式连续变化时，函数的变化趋势，从而引入极限的概念，这一概念不仅是高等数学的两个主要部分——微分学和积分学的基石，而且也是我们从事许多实际应用的基础.我们所指的函数的变化趋势，具体而言，主要指以下两种情形：（1）当自变量的绝对值

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5、无限增大，即趋向无穷大（记为）时，函数的变化趋势；（2）当自变量任意接近于，即趋向于有限值（记为）时，函数的变化趋势.1.当时，函数的极限函数的自变量是指的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：（1）取正值，无限

6、增大，记为；（2）取负值，绝对值无限增大，记为.例1设，为了考察此函数当时的变化趋势，列出下表（表2-1）并作出其图象（图2.1）：表2.1110100100010000100000…10.10.010.0010.00010.00001…从上表及图2-1可以看出，当

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8、无限增大，曲线向右或向左朝无穷远的方向延伸时，它与轴之间越来越接近，距离无限地缩小，其函数值无限趋于零.这表明不论还是，函数都无限趋近于一个确定的常数，因此该函数的变化趋势，可表示为：当时，.图2.1例2讨论函数当时的变化趋势.解：函数是周

9、期函数，由图2.2可知，其图象总是随的变化而在-1与1之间周而复始地摆动，即当时，函数不会趋于一个确定的常数.图2.2从以上各例看出，在自变量趋于无穷大的过程中，函数的变化可归纳为两类：一类是，函数趋近于某个确定的常数，这个确定的常数就是下列定义所指的函数的“极限”；另一类是，函数不趋近于某个确定的常数，则该函数不存在极限.定义2.1如果

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11、无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为或（）这样，例1的结论可以表示为，而例2的函数没有极限，即不存在.仿照例1的分析和讨论，类似

12、可推出，…由此可得出以结论：（）例3考察函数当和时的极限.解：从图2.3可以看出：-注意：此时不能写成.图2.3从以上讨论可知，包括和两种情况；反过来，只有当时，才有.显然，（为常数）2.当时，函数的极限表示自变量无限趋近于定值，它包含以下两种情况：（1）从大于的一侧趋近于，记为；（2）从小于的一侧趋近于，记为.定义2.2设函数在点左右附近有定义（但在点处可以没有定义），如果当以任何方式无限趋近于（但始终不等于）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为1或（）例4讨论函数当时的极限.解

13、：先画出函数的图象（图2.4）从图象上可以看出，无论从0的左侧趋近于0（），还是从0的右侧趋近于0（），函数的值都趋近于常数1，故当时，函数以1为极限.即图2-4应该注意到，讨论极限时，要求函数在点的左右附近都要有定义（无论这个范围有多么小都行），但极限与函数在处是否有定义无关.另外，（）是指从的左、右两边趋于时，对应的函数值都无限趋近于同一常数.例5讨论函数当时的极限.解：当时，此函数无意义，但不包括的情况，而当时，12因此无论从1的左边还是右边趋近于1，函数都无限地趋近于2（图2.5），即显然，，（为

14、常数）.图2.5以上我们讨论了当时函数的极限，其中是以任何方式趋近于，但有时我们需要考察当从的某一侧趋近于时，函数的变化趋势，为此给出单侧极限的定义：定义2.3设函数在点左侧附近有定义（但在点处可以没有定义）.如果当，且无限趋近于（即从的左侧趋近于）时，函数无限趋近于常数，则称当趋近于时，函数以为左极限，记为定义2.4设函数在点右侧附近有定义（但在点处可以没有定义）.如果当，且无限趋近于（即从的右侧趋近于）时，函数无限趋近于常