函数、极限与连续学习指导

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1、第一章函数、极限与连续重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质。难点：1．计算极限技巧；2．极限的“”，“”语言，（一）函数概念是高等数学的基本概念，反应了同一过程中，几个变量的联系以及依赖关系。函数定义强调了自变量在定义上每取一值时，函数都有唯一确定的值与它对应，而对于对应关系的形式，定义中并无限制，因此一个函数可以用分析式子来表达，也可以用图象法和表格法来表达。在用分析式子来表达时，可用一个式子表达，也可用几个式子（即分段函数），参数式（实质是以参变量为中间变量的复合函数），隐式（即隐函数）表达。高等数学讨论的函

2、数主要是初等函数。初等函数是由基本初等函数组成，因此对基本初等函数及其性质要非常熟悉，否则在研究初等函数的性质时会遇到困难。对基本初等函数以及性质的深入了解应结合函数图形进行，将函数的性质与图形的特点逐一对照，在此基础上利用图形来记忆函数的性质。由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此必须从变化的、运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确“无限接近于”的含义。“无限接近于”是指在某一过程中，与要有多接近就有多接近，或者说与的误差可达到任意小。“无限接近于”，“无限接近于”均刻划了变量无限接近于某个常数。这里有两

3、点值得注意：①无限接近是指在变化过程中，变量与某个常量要有多接近就有多接近，或者说与的误差可以达到任意小，因此“无限接近”与“越来越接近”的含义是不同的。6②变量无限接近于某个常量并没有要求达到这个常量，如“无限接近于时，无限接近于”，这个描述并不要求最终达到，也不要求达到。这一点不可忽视。闭区间上连续函数具有：有界性、最值性、介值性、零值性。在这里，闭区间与函数连续这两个前提应引起充分的注意，当前提不满足时结论就不能成立。数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列是

4、有界的，这里就有一个局部和整体的差别，其它性质也可进行对照比较。闭区间上连续函数的性质在实际中应用较广泛，在科学技术中常需知某个方程的根的近似值。对于较复杂的方程，若知便可由零值定理知所求的根落在内，而求出满足的，一般比求出方程的根要容易得多。（二）“连续”是个局部的概念，是在这一点定义的，因此区间上的连续函数是指对区间上的任一点处，函数都连续。函数在连续的定义常用以下两种：定义1：若在点的某个邻域内有定义，且，则称函数在处连续。定义2：若在点的某个邻域内有定义，且在处有，则称函数在处连续。从以上定义中看出，在处连续的充要条

5、件为同时满足以下三条：①存在；②在处有定义；③极限值与函数值6相等。无穷小量就是极限为0的变量，因此，极限为的变量显然不是无穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。常用的等价无穷小量：当时，；；。计算极限的基本方法小结：1．利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限；2．约简分式、分子（分母）有理化法；3．变量替换法；4．等价无穷小的替换法；5．利用连续函数求极限法6．利用对数求极限法；7．利用洛必塔法则求极限（第二章后）。（三）用“”，“”语言定义函数极限具有简练、精确、使用方便的特点。但由于这种语言要通过一些符号、式

6、子来表达，从而比较抽象。因此应将极限的描述性定义与用“”，“”语言给出的定义加以对照，深入理解。下面以为例，将极限的描述性定义转化为用“”语言给出的定义，从而加深对用“”语言的理解。表示了：当无限接近于时，因变量无限地接近于常数，即：可以任意小，只要充分小（不用考虑的情况）即：，只要充分小，（不用考虑的情况），就有，即：，，当时，就有。6这时应注意到，且不唯一。而定义中对，只要求了它的存在性，加外并无要求。由的任意给定和的呼应，用运动变化的观点来刻划与的无限接近。“”，“”语言中，、均用于刻划自变量的变化过程，而是用于刻划因

7、变量的变化趋势的。自变量的变化过程有：、、、、、。而对自变量每个变化过程，因变量可有不同的变化趋势：、、、。因此搭配起来就有24个不同的极限定义。（当然也可以考虑分得更细些）只要真正掌握了极限的基本思想，理解了以上，这24个不同的极限定义，是可以理解和掌握的。可利用图象理解“”，“”语言给出的极限定义。从图中易看出无论取多么小，作二条平行线，一定存在邻域，当在这个邻域内变化的时候，对应函数图象落入这二条平行线之间。请将图中看到的这个结果与极限的“”的叙述语言联系起来考虑，并可考虑相应的图象来理解“”语言给出的极限定义。6使用

8、“”，“”语言来证明函数的极限为某值时，语言一定要规范，初学者应按教材上的例题为范例，进行证明，否则易走弯路。例证明：当时，。证：，因为要使，只要，且，而，可用保证，因此取则当满足时，对应的函数值满足不等式即。特别注意：①证明中的划直线部分，实际上正是的“”语言定义；②划曲线部分是用“”，