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时间:2018-05-15
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1、高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知,求的取值范围。解:根据已知条件:所以的取值范围是2、已知,且,求的取值范围。解:由已知条件,显然综上所述的取值范围是3、正数满足,求的最小值。解:(为正数)4、设实数满足,当时,求的取值范围。y解:方程表示的是以点(0,1)为圆心的圆,根据题意当直线(为常数)与圆在第二象限相切时,取到最小值;(此时,切点的坐标满足,其它圆上的点都满足(因为在直线的上方),当增大,直线向下方平移,圆上的全部点满足,因此:x所以的取值范围是85、已知函数满足,,求的取值范围。解:由习已知得:设:所以的取值范围是6、已知:、都是正
2、数,且,,,求的最小值解:是正数,的最小值是5,(当且仅当时)。o14X1x2xy7、已知集合与,若,求的取值范围。解:设(*)当Ø,即方程(*)无解,显然成立,由得,解得当Ø,且成立,即:根据图像得出:,解得综合(1)(2)两式,得的取值范围为。88、若关于的方程有实数解,求实数的取值范围。oyxoyx解一:设,,原题转换为求方程在上有解。共有两种情况,一种是有两个根,一种是只有一个根(如图所示),由二次函数的图像和性质,得方程在上有实数解的充要条件为:注:两组不等式分别对应两个图解得所以的取值范围是解二:由方程得函数的值域就是的取值范围。所以的取值范
3、围是二、解不等式1、解:不等式与或同解,也可以这样理解:符号“”是由符号“>”“=”合成的,故不等式可转化为或。解得:原不等式的解集为82、.解:+,用根轴法(零点分段法)画图如下:++---1123原不等式的解集为。3、解:原式等价于,即注:此为关键原不等式等价于不等式组解得:4、解:当时,原不等式化为,得;当时,原不等式化为,得;当时,原不等式化为,得;当时,原不等式化为,得;当时,原不等式化为,得8综合上面各式,得原不等式的解集为:5、关于的不等式的解集为,求的解集。解:由题意得:,且则不等式与不等式组同解得所求解集为6、已知且,关于的不等式的解集
4、是,解关于的不等式的解集。解:关于的不等式的解集是,,或原不等式的解集是。三、证明题1、已知,求证:证一:,证毕。证二:8,证毕。2、设,为偶数,证明证:.①当时,,0,∴0,故;②当有一个负值时,不妨设,且,即.∵为偶数时,∴0,且∴0,故.综合①②可知,原不等式成立注:必须要考虑到已知条件,分类讨论,否则不能直接得出03、求证:证:设向量,由,得注意:当∥时,即,,,、方向相同,取等号。当利用公式证明时,会得:的错误结论,因为这里取等号的条件是∥,且、方向相反,根据题设条件,∥时,方向相同,故取不到等号,计算的结果也使不等式范围缩小了。84、求证:(
5、)证一:()原不等式成立,证毕。证二:当时,原不等式为:,显然成立;假设当取-1时,原不等式成立,即成立,则,即取时原不等式也成立。综上,对于任意()原不等式成立,证毕。注意:此类证明方法称为数学归纳法5、设,实数满足,求证:证:=当,当,当,综合式情况,原不等式成立。证毕注:式的最后一步省略了对的详细分析,正式解题时不能省。分析过程用同号异号6、已知:,求证:8证:由已知得:,即,及基本不等式,代入式得:解得;,由式得,综上得:。证毕。7、已知,证明:证:,,()同理得:,式两边相加,得所以原不等式成立,证毕。注:“”的来由:不等式当且仅当时取等号,得
6、。8
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