高中不等式习题精选精解

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1、高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知，求的取值范围。解：根据已知条件：所以的取值范围是2、已知，且，求的取值范围。解：由已知条件，显然综上所述的取值范围是3、正数满足，求的最小值。解：（为正数）4、设实数满足，当时，求的取值范围。y解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方），当增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，因此：x所以的取值范围是85、已知函数满足，，求的取值范围。解：由习已知得：设：所以的取值范围是6、已知：、都是正

2、数，且，，，求的最小值解：是正数，的最小值是5，（当且仅当时）。o14X1x2xy7、已知集合与，若，求的取值范围。解：设（*）当Ø，即方程（*）无解，显然成立，由得，解得当Ø，且成立，即：根据图像得出：，解得综合（1）（2）两式，得的取值范围为。88、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。oyxoyx解一：设，，原题转换为求方程在上有解。共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（如图所示），由二次函数的图像和性质，得方程在上有实数解的充要条件为：注：两组不等式分别对应两个图解得所以的取值范围是解二：由方程得函数的值域就是的取值范围。所以的取值范

3、围是二、解不等式1、解：不等式与或同解，也可以这样理解：符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为或。解得：原不等式的解集为82、.解：+，用根轴法（零点分段法）画图如下：++---1123原不等式的解集为。3、解：原式等价于，即注：此为关键原不等式等价于不等式组解得：4、解：当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得8综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于的不等式的解集为，求的解集。解：由题意得：，且则不等式与不等式组同解得所求解集为6、已知且，关于的不等式的解集

4、是，解关于的不等式的解集。解：关于的不等式的解集是，，或原不等式的解集是。三、证明题1、已知，求证：证一：，证毕。证二：8，证毕。2、设,为偶数,证明证：.①当时,,0,∴0,故;②当有一个负值时,不妨设,且,即.∵为偶数时,∴0,且∴0,故.综合①②可知,原不等式成立注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出03、求证：证：设向量,由,得注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。当利用公式证明时，会得：的错误结论，因为这里取等号的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围缩小了。84、求证：（

5、）证一：（）原不等式成立，证毕。证二：当时，原不等式为：，显然成立；假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则，即取时原不等式也成立。综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法5、设，实数满足，求证：证：=当，当，当，综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用同号异号6、已知：，求证：8证：由已知得：，即，及基本不等式，代入式得：解得；，由式得，综上得：。证毕。7、已知,证明：证：，，（）同理得：，式两边相加，得所以原不等式成立，证毕。注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得

6、。8