高考数学总复习试题汇编[精品题库五]

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1、65.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y2＝2PX(P﹥0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。（1）证明方法一由抛物线的定义得如图，设准线l与x的交点为而即故方法二依题意，焦点为准线l的方程为设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有由得于是，，，故（Ⅱ）解成立，证明如下：方

2、法一设，则由抛物线的定义得，于是将与代入上式化简可得，此式恒成立。故成立。方法二如图，设直线M的倾角为，则由抛物线的定义得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的结论，得即，得证。66.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得{解得a=4,c=

3、3,所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故①由点P在椭圆C上得，代入①式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.67.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳由题设当x>2时，

4、由①得化简得当时由①得化简得故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由②知.④当点P在上时，由③知⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k≤，或k≥，即k≤-2时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C上，此时由④知∣MF∣=6-∣NF∣=6-从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-）+

5、（6-）=12-(+)由得则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12-（+）=12-因为当当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AF与椭圆的另一交点为E所以。而点A，E都在上，且有（1）知若直线的斜率不存在，则==3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为.68.（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求

6、线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或69.（2009年上海卷理）（

7、本题满分16分）已知双曲线设过点的直线l的方向向量（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。（1）解双曲线C的渐近线·直线l的方程·直线l与m的距离（2）证明方法一设过原点且平行与l的直线则直线l与b的距离当又双曲线C的渐近线为双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。（2）方法二双曲线的右支上存在点到直线的距离为，则由（1）

8、得，设当，0将代入（2）得（*）方程（*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为70.（2009上海卷文）（本题满分16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1）求双曲线C的方程；（2）若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3）证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.（1）解设双曲线的方程为，解得，双曲线的方程为（2）解直线