相似矩阵的判定及其应用

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1、相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体

2、的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。定义1设，为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得=，就说相似于，记过渡矩阵矩阵等价特征矩阵行列式因子不变因子初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质：⑴反身性:⑵对称性：如果，那么⑶传递性：如果，，那么在此基础上，定理线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。我们从下面的例1来看这个定理的应用。例1第14页共14页例2设的线性变换将基=（-1，0，-2），=（0，1，2）=（1，2，5）变成（）=（2，0，-1），（）=（0，0，1），（）=（0，1，2）求在基，，下的矩阵，其中=（-

3、1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，2）.解题步骤：（1）先求出在基，，下的矩阵；（2）求出由基，，到，，的过渡矩阵；（3）求出在基，，下的矩阵=.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）为中介，若令，=，=则（，，）=（，，）第14页共14页（，，）=（，，）（，，）=（，，），故在基，，下的矩阵，并且由基，，到基，，的过渡矩阵，从而在基，，下的矩阵定理设A，Ｂ为数域P上两个nn矩阵，它们的特征矩阵和等价则可得A与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。证明：和等价就是

4、有可逆的—矩阵和，使=（）.（1）则存在—矩阵和以及数字矩阵和使=（）+（2）=（）+（3）成立，把（1）改写成（）=（），式中的用（3）代入，再移项，得{（）}（）=（）右端次数等于1或=，因此（）是一个数字矩阵（后一情形下是零矩阵），记作，即=（）（）=（）（4）现在我们来证明是可逆的.（4）的第一式可得=+（）=+（）第14页共14页=+（）{+}等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少为1，由于和都是数字矩阵，等式不可能成立.此这就是说，是可逆的.由（4）的第二式可得=（）因为（）===则可得和相似.定理矩阵和相似①和有相同的各级行列式因子；②和有相

5、同的不变因子；③和有相同的初等因子一般我们用定理比用定理多，我们从两个例子看：例2判断矩阵，是否相似？解：对，的特征矩阵，分别作初等变换可得：==故，有相同的初等因子，，所以，相似.例3A是数领P上一个n×n矩阵，证明A与相似.证明：设则=因为，即矩阵A与的特征矩阵互为转置矩阵，因而对应的K级子式相等，所以与第14页共14页有相同的各级行列式因子，则A与相似.也可以证明与等价来说明A与相似。这个例子可以作为定理1.2的应用。3.相似矩阵与矩阵对角化矩阵相似与矩阵对角化之间的关系，矩阵对角化的好处是？特征值和特征向量的概念：定义2：设A是n阶方阵，如果存在数和非

6、零列向量x，满足关系式，则数称为A的特征值，非零列向量x称为A的对应的特征向量.易证：定义3(特征值与特征多项式)：称为n阶方阵A的特征多项式，它是的n次多项式.这样的特征多项式的根为的特征值.若阶方阵可与对角矩阵相似，则称是可对角化的，简称可对角化.设阶矩阵相似与对角矩阵，相似变换为：，记的列向量为，的对角元素为，i=1，2，n，则上式为（1）比较上式两端各列，得i=1，2，n，这就是说为的特征值，为的对应于的特征向量.因为可逆，其列向量向量线性无关，所以可以得到结论：可以相似于对角矩阵的阶矩阵有个线性无关.反之，阶矩阵有个线性无关的特征向量，设为，对应的特

7、征值分别为，，，即i=1，2，n.矩阵以为列向量，以为对角线构成的对角矩阵，则，，满足（1），则，因为线性无关，所以可逆，这样可得.所以又可得到结论：若阶矩阵有个线性无关，则相似与对角矩阵.由以上的讨论可得到如下的定理：定理阶矩阵相似于对角矩阵充分必要条件是此矩阵有个线性无关的特征向量.推论1若一个矩阵的特征值互不相同，则此矩阵相似于对角矩阵.证明：阶矩阵必有第14页共14页个特征值，若它们互不相同，则它们对应的特征向量也线性无关，即此矩阵有个线性无关的特征向量.，由定理可得此矩阵相似于对角矩阵.证毕.注：若矩阵与一对角矩阵相似，的特征值未必互相相同.例1对于

8、矩阵=，我们判断其是否可对角化，若可对