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1、相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A、B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=AX，就说A相似于B，记做.二.相似矩阵的重要性质性质1数域P上的n阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性）由于单位矩阵E是可逆矩阵，且A=AE，故任何方阵A与A相似.2〉（对称性）设A与B相似，即存在数域P上的可逆方阵C，使得B=AC，由此可得A=CB=B，显然可逆，所以B与A相似.3〉（传递性）设A与B相似，B与C相似，即存在数域P上的n阶可逆方阵P、Q，使B=AP，C=BQ，则C=BQ=APQ=A（PQ），从
2、而A与C相似.〈证毕〉性质2相似矩阵有相同的行列式.证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B=AC，两边取行列式得：｜B｜=｜AC｜=｜｜｜A｜｜C｜=｜A｜｜C｜=｜A｜.从而相似矩阵有相同的行列式.〈证毕〉下面先介绍两个引理引理1：设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）](1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB）≤秩（A），同时，秩（AB）≤秩（B）.现在来分别证明这两个不等式.设A=，B=6令，，…，表示B的行向量，，，…，表示AB行向量.由计算
3、可知，的第j个分量和的第j个分量都等于，因而=（i=1，2，…n）.即矩阵AB的行向量组可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也即,秩（AB）≤秩（B）.同样，令表示A的列向量，表示AB的列向量，由计算可知=++…+（i=1，2，…，s）.这个式子表明，矩阵AB的列向量可以经矩阵A的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB）≤秩（A）.<证毕>引理2:A是一个s×n矩阵,如果P是个s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.证明:令B=PA,由引理1知秩（B）≤秩（A）；但是由A=B,又由
4、秩（A）≤秩（B）,所以秩（A）=秩（B）=秩（PA）.同理可证,秩（A）=秩（AQ）.从而,秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.〈证毕〉性质3相似矩阵有相同秩.证明:设A,B相似即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B=AC,由引理2可知秩（B）=秩（AC）=秩（AC）=秩（A）.〈证毕>性质4相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.6证明:设A与B相似,由性质3可知.若A可逆,即,从而故B可逆；若A不可逆,即,从而,故B不可逆.〈证毕〉性质5若A与B相似,则相似于.(n为正整数)证明:由于A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵X,使得,从而,即相似于.〈证毕〉性质6设
5、A相似于B,为任一多项式,则相似于.证明:设于是由于A相似于B,由性质5可知相似于,(k为任意正整数),即存在可逆矩阵X,使得,因此这就是说相似于.〈证毕〉性质7相似矩阵有相同的特征多项式. 证明：设A相似于B，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得，则由此可见，B与A有相同的特征多项式. 〈证毕〉性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A相似于B。由性质7知，A与B6有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值，而A的迹trA= B的迹trB=，从而，trA=trB.即相似矩阵有相同的迹.〈证毕〉性质9：若矩阵A与B相似，则它们有相同的不变因子和初等因子.
6、证明：因为A与B相似，所以它们的特征矩阵和等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子.性质10：若A与B相似，B与D相似，则与相似. 证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得，C与D相似，即存在可逆矩阵Q，使得，由于显然 是可逆矩阵.由此可见，与相似.三．相似矩阵性质的简单应用. 例1：设， 求 .分析：该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到A的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下： 解：（1）求A的特征值与相应的特征向量.由，所以，A的3个互异特征值为，故A可以对角化，对每个（i=1，2，3），求得分别属于的特征向量为
7、6 （2）令，有.(3)因为所以.例2：已知矩阵 ，在一个直角坐标系里，它按关系式定义一个旋转.现在引进一个新的直角坐标系.使得旋转轴为新的坐标轴之一.具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为.其中在旋转轴上.现确定旋转的旋转角，在这里,在旧坐标系中应表为, 6这个旋转：i〉保持不动;ii〉对与的作用就象一个二维空间的旋转. 因此，对于基底，该旋转的矩阵是, 其中是旋转角.则，其中C是坐标变换矩阵. 因为B与R相似，由性质8知，它们的迹相同.但B的迹trB=, 因此,所以.现在旋转角可以查表得到. 例2中的论证过程是相当一般化的。因
8、此，我们可得到如下结果：设R是3×3的旋转矩阵，则其旋转角由给出.6
