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1、相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义:设A、B为数域P上两个n级矩阵,如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B=AX,就说A相似于B,记做.二.相似矩阵的重要性质性质1数域P上的n阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明:1〉(反身性)由于单位矩阵E是可逆矩阵,且A=AE,故任何方阵A与A相似.2〉(对称性)设A与B相似,即存在数域P上的可逆方阵C,使得B=AC,由此可得A=CB=B,显然可逆,所以B与A相似.3〉(传递性)设A与B相似,B与C相似,即存在数域P上的n阶可逆方阵P、Q,使B=AP,C=BQ,则C=BQ=APQ=A(PQ),从
2、而A与C相似.〈证毕〉性质2相似矩阵有相同的行列式.证明:设A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B=AC,两边取行列式得:|B|=|AC|=|||A||C|=|A||C|=|A|.从而相似矩阵有相同的行列式.〈证毕〉下面先介绍两个引理引理1:设A是数域P上的n×m矩阵,B是数域P上m×s矩阵,于是秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)](1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明:为了证明(1),只需要证明秩(AB)≤秩(A),同时,秩(AB)≤秩(B).现在来分别证明这两个不等式.设A=,B=6令,,…,表示B的行向量,,,…,表示AB行向量.由计算
3、可知,的第j个分量和的第j个分量都等于,因而=(i=1,2,…n).即矩阵AB的行向量组可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩,也即,秩(AB)≤秩(B).同样,令表示A的列向量,表示AB的列向量,由计算可知=++…+(i=1,2,…,s).这个式子表明,矩阵AB的列向量可以经矩阵A的列向量组表出,前者的秩不可能超过后者的秩,这就是说,秩(AB)≤秩(A).<证毕>引理2:A是一个s×n矩阵,如果P是个s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).证明:令B=PA,由引理1知秩(B)≤秩(A);但是由A=B,又由
4、秩(A)≤秩(B),所以秩(A)=秩(B)=秩(PA).同理可证,秩(A)=秩(AQ).从而,秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).〈证毕〉性质3相似矩阵有相同秩.证明:设A,B相似即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B=AC,由引理2可知秩(B)=秩(AC)=秩(AC)=秩(A).〈证毕>性质4相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.6证明:设A与B相似,由性质3可知.若A可逆,即,从而故B可逆;若A不可逆,即,从而,故B不可逆.〈证毕〉性质5若A与B相似,则相似于.(n为正整数)证明:由于A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵X,使得,从而,即相似于.〈证毕〉性质6设
5、A相似于B,为任一多项式,则相似于.证明:设于是由于A相似于B,由性质5可知相似于,(k为任意正整数),即存在可逆矩阵X,使得,因此这就是说相似于.〈证毕〉性质7相似矩阵有相同的特征多项式. 证明:设A相似于B,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得,则由此可见,B与A有相同的特征多项式. 〈证毕〉性质8:相似矩阵有相同的迹.证明:设A相似于B。由性质7知,A与B6有相同的特征多项式,因而有相同的的特征值,而A的迹trA= B的迹trB=,从而,trA=trB.即相似矩阵有相同的迹.〈证毕〉性质9:若矩阵A与B相似,则它们有相同的不变因子和初等因子.
6、证明:因为A与B相似,所以它们的特征矩阵和等价,因而它们有相同的不变因子,进而有相同的初等因子.性质10:若A与B相似,B与D相似,则与相似. 证明:A与B相似,即存在可逆矩阵P,使得,C与D相似,即存在可逆矩阵Q,使得,由于显然 是可逆矩阵.由此可见,与相似.三.相似矩阵性质的简单应用. 例1:设, 求 .分析:该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂,耗费时间,若能找到A的相似对角阵,则该问题就简单化了,解题过程如下: 解:(1)求A的特征值与相应的特征向量.由,所以,A的3个互异特征值为,故A可以对角化,对每个(i=1,2,3),求得分别属于的特征向量为
7、6 (2)令,有.(3)因为所以.例2:已知矩阵 ,在一个直角坐标系里,它按关系式定义一个旋转.现在引进一个新的直角坐标系.使得旋转轴为新的坐标轴之一.具体的说,假设新坐标轴方向的单位向量为.其中在旋转轴上.现确定旋转的旋转角,在这里,在旧坐标系中应表为, 6这个旋转:i〉保持不动;ii〉对与的作用就象一个二维空间的旋转. 因此,对于基底,该旋转的矩阵是, 其中是旋转角.则,其中C是坐标变换矩阵. 因为B与R相似,由性质8知,它们的迹相同.但B的迹trB=, 因此,所以.现在旋转角可以查表得到. 例2中的论证过程是相当一般化的。因
8、此,我们可得到如下结果:设R是3×3的旋转矩阵,则其旋转角由给出.6