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1、ISSN10098984长春工程学院学报(自然科学版)2003年第4卷第3期1/22CN221323/NJ.ChangchunInst.Tech.(Nat.Sci.Edi.),2003,Vol.4,No.314M矩阵的判定及其应用算法姜泽宏(长春工程学院基础部,长春130012)n!n摘要:给出了一个M矩阵的新的判定方法,及其定义3设A=(aij)R存在正对角阵D计算方法。使AD为正定矩阵,则称A为广义正定矩阵。[3]n!n关键词:正定矩阵;M矩阵;算法引理1设A=(aij)R且aij∀0,(i中图分类号:O151.21文献
2、标识码:Aj),则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。[4]n!nT文章编号:10098984(2003)03000104引理2设A=(aij)R,且A=A,C是n阶可逆方阵,则A为广义正定矩阵的充要条件T是CAC为广义正定矩阵。0引言引理3设A=(an!nTij)R,且A=A,aij∀0,(ij),C是n阶可逆方阵,则A为M矩阵的充要关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887T[1]条件是CAC为广义正定矩阵。年,Stieltje证明了一个具有非正非对角元的,非奇[3]n!n引理4A=(aij)R且aij∀0,(ij
3、),异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。之后,[2]T1937年Ostrowski提出M矩阵定义为:具有非正非若A=A+A为M矩阵,则A为M矩阵。对角元,且逆是非负矩阵。近年来,国内外的许多数A11A12定理1设A=,ij∀0,如果A11学工作者对M矩阵判定方法的研究都极为重视,并A21A22TTTT-1开展了深入的研究工作,给出了许多判定方法。+A11,A22+A22-(A21+A12)(A11+A11)(A12+但就目前的研究成果来看,所提出的M矩阵的TA21),为广义正定矩阵,则A为M矩阵。判定方法仅是、且仅能对M矩阵作整体判
4、定,这对证明取于高阶矩阵来说,在计算上较为困难,判定方法难以T-1TI1-(A11+A11)(A12+A21)实现,因而现有M矩阵的判定方法存在着相当大的C=0I2局限性。本文利用逐次降阶的方法,使一个任意阶则TTT的矩阵A所对应的A(A=A+A)逐次降为最后只C(A+A)C=T需利用定义,就可判定矩阵A是否满足要求,而无须A11+A110TTT-1T0A22+A22-(A21+A12)(A11+A11)(A12+A21)要求理解定理。从而得出结论,如果A是M矩阵,则TTT由于A11+A11,A22+A22-(A21+A12)(A11+A亦是
5、M矩阵。T-1TTA11)(A12+A21),为广义正定矩阵,故C(A+1判定方法TTA)C为广义正定矩阵,故A+A为广义正定,因此TA+A为M矩阵,所以A为M矩阵。n定义1设A为n阶方阵,若对任意的xR,A11A12A13Tx0,xAx>0则称A为正定矩阵。n!n定理2设A=A21A22A23,aij∀0,且定义2设A=(aij)R且aij∀0,(i-1A31A32A33j),A#0,则称A为M矩阵。TAij=Aij+Aij(i,j=1,2,3),若A11,A22--1-1收稿日期:2003-03-03A21A11A
6、12,A22-A21A11A12-(A32-作者简介:姜泽宏(1960,7-),男(汉),吉林舒兰,副教授-1-1-1主要研究方程解的稳定性等问题,(0431)5947890。A31A11A12)(A22-A21A11A12)(A23-A21A311A13)2长春工程学院学报(自然科学版)2003,4(2)为广义正定矩阵,则A为M矩阵。-1-1I1-A11A12-A11A13A110TT证明设C=0I20,则C(A+A)C=,其中0B100I3-1-1A22-A21A11A12A23-A21A11A13B1=(所以,只需证B
7、1为广义正定矩阵)-1-1A32-A31A11A12A33-A31A11A13-1-1-1-1I1-(A22-A12A11A21)(A23-A21A11A13)T取D=,得DB1D=0I2-1A22-A21A11A120-1-1-1-10A33-A31A11A13-(A32-A31A11A12)(A22-A21A11A12)(A23-A21A11A13)T由已知条件,得DB1D为广义正定矩阵,故B11TD2A22-[D2A21+A12D1][D1A11+TT2为广义正定矩阵,故C(A+A)C为广义正定矩阵,T-1TTTA11D1][D
8、1A12+A21D2]=因此A+A为广义正定矩阵,所以A+A为M矩1-1T阵,即A为M矩阵。D2(A22-[A21+D2A12D1][D1A11+2T定义6若A+
