2018年高考数学二轮复习数学方法应用专题2换元法讲义

《2018年高考数学二轮复习数学方法应用专题2换元法讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、方法二换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可

2、以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真

3、正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.学…换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：1、局部换元局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.1.1对于形如的值域（最值）问题，令，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.例1．【2018届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考】设函数，是定义域为R上的奇函

4、数．（1）求的值；（2）已知，函数，，求的值域；（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：试题解析：（1）先利用为上的奇函数得求出以及函数的表达式，（2）先由得，得出函数的单调性，再对进行整理，整理为用表示的函数，最后利用函数的单调性以及值域，得到的值域．（3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用．（3）=，，假设存在满足条件的正整数，则，①当时，．②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．③当时，

5、，则，令，则，易证在上是减函数，∴．综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；2例2．【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数．（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（3）．【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算判断其与的关系；（2）令，故，换元得，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由，得，即恒成立

6、，求其最值即可.试题解析：（1）函数的定义域为，对任意，，所以，函数是偶函数．（2），令，因为，所以，故，原函数可化为，，图像的对称轴为直线，当时，函数在时是增函数，值域为；当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为．3综上，（3）由，得，当时，，所以，所以，所以，恒成立．令，则，，由，得，所以，．所以，，即的取值范围为．1.3、常数换元例3.【2018届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得，解得．∴．答案：.1.4.复合函数中的换元例4.已

7、知函数，，其中且，．4（I）若，且时，的最小值是－2,求实数的值；（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）∵，∴，………………2分易证在上单调递减，在上单调递增，且，∴，，………………3分∴当时，，由，解得（舍去）………………4分当时，，由，解得.………………5分综上知实数的值是.………………6分5∴.………………11分故实数的取值范围为.…………………12分1.5.局部换元法与不等式局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化

8、为简单不等式、超越不等式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为不等式时，常令，将复杂不等式化为一元二次不等式，解出t的范围，再解不等式关于的简单不等式.例5.【2018届甘肃省西北师范大学附属中学】在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率