数学方法之换元法篇.doc

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1、数学方法之换元法篇通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题.通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题.通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法.根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数的最大值.解析：设当二、三角换元例2：求函数的值域.解析：令因为，所以所以，得所以函数的值域为[].三、平均数换

2、元法例3：已知正数证明：由题意可知x，y的平均数为，令x=+，y=-（-<<）,则显然分子的值大于等于，分母的值大于0小于等于，从而得证.四、比值换元例4：已知x，y，z满足x-1=，试问实数x，y，z为何值时，x2+y2+z2达到最小值？解析：由比例可以设，则+当时，即，，达到最小值.五、根式换元例5：求函数y=2x+的值域.解析：设t=≥0，则x=，f(t)=，由二次函数的图象可以知f(t)≤1，所以原函数的值域是六、不等量换元例6：求证：.证明：对通项公式进行变形.令k=2，3，…n，n+1，则.