ch14_2求复合函数偏导数的链式法则

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1、《数学分析》课程电子课件教师：杨勤民Tel:64253147Email:qmyang@ecust.edu.cnhttp://e-learning.ecust.edu.cn/able.acc2.web/sxfx.jpkc公共邮箱：m.a.ecust@gmail.com华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn1/16§14.2求复合函数偏导数的链式法则一、链式法则二、复合函数的全微分华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn2/16一、链式法则定理如果(1)ux(,),y(,)xy在点(,)x

2、y可导(2)zfu(,)在对应点((,),(,))xyxy可微则复合函数zf((,),(,))xyxy在点(,)xy的两个偏导数存在,且zzuzxuxxzzuzyuyy华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn3/16连线相乘，分线相加zfuv(,),其中u(,),xyv(,)xy的链式法则如图示uxzzuzvzxuxvxvyuxzzuzvzyuyvyvy华东理工大学《数学分析》电子课件

3、(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn4/16类似地，设u(x,y)、v(x,y)、ww(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复合函数zfx((,),(,),(,))yxywxy在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：zzuzvzwuxuxvxwxxzvzzuzvzwywyuyvywy华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn5/16特别地zf(u,x,y)其中u(x,y)即zfx((,),,),yxy令vx

4、,wy,vwvw1,0,0,1.xxyyzfufzfuf,.xuxxyuyy区把zf[(x,y),x,y]把中zfuxy(,,)别的及看作不变uy类中的y看作不变而对而对的偏导数x似x的偏导数华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn6/16uzx型v定理如果函数u(x)及v(x)都在点x可导函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zfxx((),())在对应点x可导，且其导数可用下列公式计算dddzzuzv.dddxux

5、vx可推广到中间变量多于两个的情况:ddddzzuzvzw如ddddxuxvxwx华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn7/16u22例1.已知zeusin,xyx,y,求及.zzxyzzuzuu解exsin2eycosxuxx22xyex2sin()cos()xyyxyuxzzuzyuyyzuueysin2excosvy22xyey2sin()xyxxcos()y偏导数的项数,等于链式图中从自变量到达的路径zxzx条数;每项都是若干个偏

6、导数的乘积,每个偏导数都与路径中的一条线段相对应.华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn8/16tdz例2.设而zuvsin,tuev,cos,t求.dtuzvt型tzz例3.设zfxx()yf,且具有一阶导数求,及.xyxzu型y华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn9/16例4.设wfxyzx(,yzf),且具有二阶连续偏导数,2ww求及.xzx解令uxyz,vxyz;uxwy型则wfuv(,).vzff记f1,f2,uv22

7、ffff1f2,f112u,222uvv22ff1二阶偏ff2ff.1221vuv导连续uvu华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn10/16wfxyzx(,yz)wfufv于是，f1yzf2;xuxvx2wf1f2(f1yzf2)yf2yz;zxzzzf1