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《复合函数与隐函数的偏导数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、复合函数的求导法则第四节多元复合函数的 求导法则第八章多元函数微分法及其应用1一、复合函数的求导法则(链导法则)证1.中间变量为一元函数的情形.定理且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则也可微,2可微由于函数多元复合函数的求导法则3复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广导数变量树图三个中间变量称为全导数(又称链导公式).多元复合函数的求导法则4项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则5例设求
2、这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二yuvx解法一可用取对数求导法计算.多元复合函数的求导法则6多元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算两个中间变量两个自变量可微,2.的情形.7变量树图uv多元复合函数的求导法则8解多元复合函数的求导法则例9中间变量多于两个的情形类似地再推广,复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则10例设解求多元复合函数的求导法则11只有一个中间变量即两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则
3、3.的情形.把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数12解zuxyxy变量树图例多元复合函数的求导法则13已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,练习则多元复合函数的求导法则14多元复合函数求导法则(链导法则)多元复合函数的求导法则三、小结(大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导15一个方程的情形第五节隐函数的求导公式第八章多元函数微分法及其应用16一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数
4、(1)的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式17隐函数存在定理1隐函数的求导公式设二元函数的某一邻域内满足:在点则方程的某一邻域内并有(1)具有连续偏导数;它满足条件在点隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得18或简写:于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域内19如,方程记(1)的邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式隐函数存在
5、定理1的隐函数则(2)(3)20解令则隐函数的求导公式例21则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域(1)(2)(3)满足:22隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得是方程所确定的隐设函数,则所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得23例解则令隐函数的求导公式24将注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时
6、,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.隐函数的求导公式25分析在某函数(或方程)表达式中,自变量互换后,练习仍是原来的函数(或方程),称函数(或方程)用对称性可简化计算.解将方程两边对x求偏导,得关于自变量对称,将任意两个隐函数的求导公式26再将上式两边对x求偏导,得由x,y的对称性知,隐函数的求导公式27隐函数的求导公式2002年考研数学(四),7分有连续偏导数,且解法一则用公式故而所以练习28隐函数的求导公式有连续偏导数,法二用全微分两边微分,得故故2002年考研
7、数学(四),7分29隐函数的求导法则隐函数的求导公式三、小结30
