11第十一讲 加法与乘法原理综合

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1、指南针小升初第十一讲加法和乘法计数原理综合知识导航乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导常用排列组合公式的基础.1．加法原理：设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.2．乘法原理：设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，则完成这件事共有：n1×n2×...×nm．例1．从甲地到乙地，可以乘火

2、车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？解析：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法．【巩固1】旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？解析：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类．第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种．所以一共可以表示出不同的信号3＋

3、6=9（种）．【巩固2】两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？解析：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数．因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况．根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）．例2．用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？解析：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1；恰有连续四位是1；恰有连续三位是1．连续五位是1，只有11111一种；-72-指南针小升初恰有连续四位

4、是1的有：1111A与A1111两种情况，其中A可以是2,3,4中任何一个，所以有：3+3=6（种）；恰有连续三位是1的有：111AB，BA111，A111C三种情况，其中A,C可以是2,3,4之一，B可以是1,2,3,4之一．所以对于111AB有3×4=12（种），对于BA111有3×4=12（种），对于A111C有3×3=9（种），所以共有3×4+4×3+3×3=33（种）由加法原理，这样的五位数共有：1＋6＋33＝40（种）．【巩固】用1、2、3这三个数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？解析：将至少有连续两位数字是2的四位数分成三

5、类:连续四位是2的情况只有1种：2222；连续三位是2的情况有4种：2221,2223,1222,3222；连续两位是2的情况有22AB,BA22,A22B三种情况，22AB有：2×3=6（种）BA22有：2×3=6（种）；A22B有：2×2=4（种）；共有16种．所以，根据加法原理连续至少两个2的共有：1+4+16=21（个）例3．右图中每个小方格的边长都是1．一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）．如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？解析：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从

6、AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）．实际上，小虫爬行的总长是3．小虫爬行的第一步有四种情况：向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；同理，向右也有6条路线；向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；-73-指南针小升初同理，向下也有4条路线．根据加法原理，共有不同的爬行路线：6＋6＋4＋4＝20（条）【巩固】用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解析：区域A与其它区域都

7、相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同．本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况．当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选．根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5×4×3×3＝180（种）．当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选．根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5×4×3×2×2＝240（种）．再根据加法原理，不同的染色方法共有：180＋2