加法原理与乘法原理

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1、§加法原理與乘法原理主題1：加法原理與乘法原理1.加法原理：設，且為兩兩互不相交的集合，則。※加法原理：設完成某件事有，兩種方式【各有種方法】則完成此事有種方法2.乘法原理：如果做某件事要經過個步驟，而完成第1個步驟有種方法，而完成第2個步驟有種方法，而完成第3個步驟有種方法，……，而完成第個步驟有種方法，則完成這件事的方法共有種方法。※乘法原理：設完成，兩件事分別有種方法則，兩件事均完成有種方法積集合：若為兩集合，且，則的積集合為，且。※重要範例1.將10個相同的球分給甲，乙，丙三人，每人至少2個，至多4個，有　　　　　種分法，其中甲分得的球比乙多的方

2、法有　　　　　種。【解答】6；2【詳解】10個相同的球，分給甲，乙，丙各x，y，z個且2£x，y，z£4則x，y，z之解，有下列情況共有6種分法，其中甲比乙多的分法有2種2.每次用20根相同火柴棒圍成一個三角形，共可圍成　　　　　個不全等的三角形。【解答】8【詳解】設三角形的三邊長x，y，z且x³y³z，x，y，zN則由得20=x+y+z>x+x=2x　　10>x由得20=x+y+z£x+x+x=3x　Þ　x∵　xN　Þ　7£x<10　Þ　x=7，8，9當x=7時，y+z=13　　(y，z)=(7，6)當x=8時，y+z=12　　(y，z)=(8，4)，(

3、7，5)，(6，6)當x=9時，y+z=11　　(y，z)=(9，2)，(8，3)，(7，4)，(6，5)∴　不全等的三角形共有1+3+4=8種隨堂練習.在空間中，x，y，z坐標皆為整數且與原點距離為的點，共有　　　　　個。【解答】48【詳解】∵　=　Þ　x2+y2+z2=17先考慮0£x£y£z的解有　∴　所有解共有：3!´2´2+´2´2´2=48　　　　　　　↑　↑　↑↑　↑　　　　　　　　(±4)(±1)(±2)(±2)(±3)3.某自助餐廳備有肉4種，魚3種，蔬菜5種，一位客人預計各點一種肉、魚和蔬菜，問他有　　　　　種點菜的方式。【解答】60【

4、詳解】4´3´5=60（種）4.甲地與乙地之間共有六條道路，其中三條是雙向道，兩條是甲地到乙地的單向道，一條是乙地到甲地的單向道。今有一人從甲地騎車到乙地，請問有多少路徑供他選擇？　　　　　；如果他從甲地騎車到乙地，再騎回甲地，那麼他有多少方法？　　　　　。【解答】5；20【詳解】(1)甲到乙的路徑有5條(2)甲到乙再回到甲的路徑先由甲到乙有5條走法，再由乙到甲有4條走法，共5´4=20條路徑5.一室有5個門，規定每人不得由同一門進出，則(1)若甲、乙兩人不能由同一門進出，今兩人各進出一趟，其方法有幾種？(2)若甲、乙、丙三人，任二人均不得由同一門進出，三

5、人各進出一趟，其方法有幾種？【解答】(1)260　(2)1920【詳解】(1)甲、乙二人由不同門進入的方法有5´4=20種，出來時，分兩類甲由乙進入的門出來：甲、乙二人出來的方法有1´4=4種甲不經由乙進入的門出來：甲、乙二人出來的方法有3´3=9種故二人進出一趟的方法有5´4´(4+9)=260種(2)甲、乙、丙三人進入的方法有5´4´3=60種甲、乙、丙三人出來的方法=(甲、乙、丙三人由不同門出來)-(甲由甲進入的門出來，或乙由乙進入的出來，或丙由丙進入的門出來)=5´4´3-(1´4´3+1´4´3+1´4´3-1´1´3-1´1´3-1´1´3+1

6、´1´1)=60-28=32故三人進出一趟的方法有60´32=1920種隨堂練習.設一室有5個門，兄弟二人由不同門進入，不同門出來，則：(1)自己可以由相同門進出時，其方法有　　　　　種。(2)自己不可以由相同門進出時，其方法有　　　　　種。【解答】(1)400　(2)260【詳解】(1)兄先進入方法有5種，弟再進入方法有4種兄出來時方法有5種，弟出來時方法有4種由乘法原理知：進出方法共有5´4´5´4=400種(2)兄由弟進入時的門出來，其法有5´4´1´4=80種兄不經由弟進入時的門出來，其法有5´4´3´3=180種故進出方法有80+180=260種

7、6.職棒四年季後冠軍爭霸戰，是由季內賽前兩名，作七戰四勝的比賽，爭年度總冠軍，現已賽畢三場，兄弟象以2：1勝統一獅，則往後的比賽結果有　　　　　種以決定冠軍。【解答】10【詳解】利用樹形圖從象2獅1開始，往後比賽的情形共有10種7.設{a1，a2，a3，a4}={1，2，3，4}，則滿足(1-a1)(2-a2)(3-a3)(4-a4)¹0的情形有　　　　　種。【解答】9【詳解】a1a2a3a4共有9種隨堂練習.自下圖四面體ABCD之A出發，各頂點只能經過一次，(1)自A至B共有　　　　　種走法。(2)走到之前走過之點即停止，共有　　　　　種走法。【解答】(

8、1)5　(2)9【詳解】(1)共5種(2)　共9種※捷徑：8.在圖