线性系统理论复习题纲

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1、《线性系统理论基础》复习提纲线性系统理论基础建模分析设计微分方程转化为状态空间模型运动分析稳定性分析极点配置镇定控制传递函数转化为状态空间模型结构分析最优控制状态观测器从物理规律列写状态空间模型模型的标准化零输入状态响应零初态状态响应输出响应能控与能观性对偶系统与对偶原理结构分解能控和能观标准型李亚普诺夫稳定性定义和定理线性系统的稳定性判据方框图转化为状态空间模型状态响应第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框

2、）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量对角线标准型、约当标准型模态标准型正则型矩阵范德蒙矩阵传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型s简单机械系统s简单电气系统参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型s微分方程中不含输入导数项给定，选取状态向量，则有状态方程：输出方程：例2.1.3(注意：方框图在没有要求时可以不画出)s微分方程中包含输入函数导数项，且给定，,将其转化为，选取状态向量，则

3、有状态方程输出方程例2.1.4s微分方程中包含输入函数导数项，且若，让，则转化为如下微分方程的形式。例2.1.5知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）考虑注意：若，则可以将其写成从而只需对进行状态空间实现。l方法1：转化为微分方程方法等价于微分方程l方法2：并联法（部分分式分解法）（1）若的极点全部为单根，则有其中为对应于极点的留数，则状态空间模型为，参看：例2.1.6（1）若的极点为单个重根，则有其中为对应于极点的留数则状态空间模型为，参看：例2.1.7(3)若的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为，其中包含所有

4、单根，只含有单个重根。l方法3：串联法（零极点分解法）自己总结。%%知识点4：基于基本模块的方框图的转化第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数。第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。例2.1.8(P.22)%%知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统1）求

5、矩阵的互不相同的特征根：即求特征多项式的根2）求每个特征根对应的特征向量：即求解线性方程组3）以特征向量为列向量构成矩阵，构造线性变换4）计算对角线标准型的各系数矩阵5）写出系统的对角线标准型表达式参看：例2.2.2特殊情况：如果系统矩阵为正则型且特征值互不相同，则变换矩阵为范得蒙矩阵例2.2.3，习题9（1）P.49知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型1）计算特征根：假设为全部互不相同的特征根，其重数分别为2）构造线性变换的矩阵：对每个特征根计算秩，则从可以求出个线性无关的特征向量，对每一个特征向量，求解如下线性

6、方程求出其广义特征向量：（其中表示相应于特征向量的广义特征向量个数）变换矩阵的构造如下：ú对应于的个约当块的分块矩阵为；ú对应于的分块矩阵为；ú变换矩阵为。3）计算约当标准型的系数矩阵4）写出系统的约当标准型表达式参看：例2.2.4，例2.2.5知识点6：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型l二阶系统情况：矩阵的特征值为共轭复数对1）计算矩阵的特征值2）计算特征根特征向量3）构造变换矩阵4）计算模态标准型的系数矩阵5）写出系统的模态标准型表达式参看：例2.2.7知识点7：由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式

7、则系统传递函数矩阵为其中逆矩阵的计算。参看：例2.3.1知识点8：应用Matlabs常用的三种模型状态空间模型：Gss=ss(A,B,C,D)传递函数模型：Gtf=tf(num,den)零极点模型：Gzp=zpk(z,p,k)s基于方框图的状态空间模型建立并联：[ABCD]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2串联：[ABCD]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1*G2反馈：[ABCD]=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,

8、D2)G=feedback(G1,G2,sign)s转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)零极点模型转化为状态空间模型：[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)s线性变换SYS=ss2ss(SYS,P)s对角或约当标