7m8__《高中物理奥赛经典》之极限法

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1、高中物理奥赛经典五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。图5—1赛题精讲例1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物

2、块可能获得的最大动能为。解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①由机械能守恒有：mg(h+x)=Ek+kx2②联立①②式解得：Ek=mgh－图5—2例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与β角有关，求时间t对于β角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知

3、，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：a=gcosβ该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则：at2=所以：t=①由图可知，在ΔOPC中有：=极限法第14页（共14页）高中物理奥赛经典所以：=②将②式代入①式得：t==显然，当cos(α－2β)=1，即β=时，上式有最小值。所以当β=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？解析：当物体的速度方

4、向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vy=v0tanθ=gt，解得运动时间为t=tanθ图5—该点的坐标为：x=v0t=tanθ，y=gt2=tan2θ由几何关系得：+y=xtanθ解得小球离开斜面的最大距离为：H=tanθsinθ这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射

5、仰角。图5—4解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：=－=极限法第14页（共14页）高中物理奥赛经典=令=tanθ，则=cosθ，=sinθ，上式可变为：=显然，当sin(2α－θ)=1时，即2α－θ=90°，亦即发射角α=45°+=45°+arctan=45°+arctan=71.6°时，v0最小，且最小速度为：v0==3=9.5m/

6、s图5—5例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度a1===μg。由于铁板移动的距离L=，故v′越大，L越大。v′是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑

7、但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M+m)g，根据系统的牛顿第二定律得：F=ma2+M0所以：a2==μg①设v、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度：因为：mv=(M+m)v′②且：v2=2a2l，=2a1L并将a1、a2代入②式解得铁板移动的最大距离：L=l例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r极限法第14页（共14页）高中物理奥赛经典。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度v

8、=，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为v发，卫星发射时具有的机械能为：E1=m－G①进入轨道后卫星的机械能为：E2=m－G②由E1=E2，并代入v轨=，解得发射速度为：v发=③又因为在地面上万有引力等于重力，即：G=mg，所以：=gR0④把④式代入③式即得：v发=