如何突破数列极限概念教学难点

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1、如何突破数列极限概念教学难点云南德宏职业学院云南芒市邮编678400【摘要】极限概念是微积分中最基本最重要的概念，微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。但极限概念又是数学中最抽象的概念之一，因为抽象难学，在中学或一些大学里，有的教师只讲用语言表达的极限的描述性定义，而不讲用ε-N、ε-δ表达的严格定义，致使学生一知半解，影响了学生对整个微积分知识的学习。笔者认为，加强对极限概念的教学，不仅对学习微积分，而且对学生深刻认识宏观和微观世界都具有十分重要的意义；只要突破了数列极限概念

2、的教学难点，就可以使学生正确理解、掌握极限概念的思想和方法。本文结合多年教学实践和学生实际，谈谈突破数列极限概念教学难点的一些认识和做法，与同仁共同探讨。【关键词】突破数列极限概念难点　　　　微积分学，是以极限为基本工具，主要研究函数的微分和积分的理论与应用的一门数学学科，极限概念是微积分中最基本最重要的概念，如，连续、导数、定积分等都是用极限来定义的[1]。然而大家知道，微积分基本定理的发明者牛顿莱布尼茨，起初是以无穷小建立微积分的，后来因遇到　　　　1了逻辑的困难，在他们的晚期都不同程度的接受了极限思想。牛顿所用的极限概念只

3、是接近下列直观性描述：如果当n无限增大时，an无限地接近常数A，那么就说数列{an}以A为极限。这种描述性语言大家容易接受，但没有给出两个无限过程之间的联系，不能作为科学论证的基础，主要由于这个原因，才受到了贝克莱等人的怀疑和攻击。到了19世纪，柯西比较完整地阐述了极限概念和理论，但没有达到彻底严密的程度。是被称为数学分析之父的维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓数列{an}以常数A为极限是指：如果任意给定ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式∣an-A∣<

4、;0恒成立。数列极限的这个严格而精确的定义，正是数列极限概念教学的难点所在，对初学者来说是个超级抽象的概念。尽管现行全国高考数学考试大纲对数列极限概念只要求了解，普通高中数学教材教学大纲中的教学目标只要求从数列的变化趋势理解数列极限概念，在大学里对非数学专业的大学生也不作更高的要求，但笔者认为，作为教师不能仅限于大纲规定的要求，或者教起来难教费时，也就跟着降低对学生的要求，更不应该绕开它。因为理解和掌握ε-N的数列极限概念，不仅对学生学习微积分（包括广义积分）、级数、乃至整个高等数学，而且对学生进一步认识有限和无

5、限、精确与近似、量变2与质变的辩证关系都具有十分重要的意义，是使学生深刻认识宏观和微观世界的极佳的教学内容和时机。因此，对于ε-N的数列极限概念的教学，多花点时间和精力是值得的。笔者下面从四个方面谈点陋见，仅供参考。1、充分利用实例，使学生对极限概念获得丰富深刻的感性认识　　　　在数学里，学生最初接触曲变直、方变圆的极限思想是在初中学习圆的周长公式L=2∏r和圆的面积公式S=∏R2时，教师一般都会介绍我国魏晋时期杰出数学家刘徽用割园术求出了圆周率∏的近似值3.14。在高中，学生第一次

6、接触无限分割无限求和思想是求球面面积公式，在一个半球面内作若干个内接圆台和一个圆锥，当分点无限增多时，所有圆台和圆锥侧面面积之和就是半球面面积2∏R2，这里实际用了极限知识[2]。在解释椭圆离心率几何意义时，有的教师也会这样解释：当椭圆的一个焦点固定，另一个焦点越来越靠近它时，椭圆就越来越圆，无限趋于它时椭圆的极限就是圆。在日常生活中，对极限一词学生也时有耳闻，如挑战什么什么的极限等，爱好体育的学生知道百米跑极限是9.2秒（目前多数科学家认可的），现在世界记录是2009年柏林田径世锦赛上博尔特创下的9.58秒；医学专业

7、的学生关心人的生命极限（人的寿命最多是多少年，人在低温多少　　　　3度之下不能存活等）等。因此，学生在正式学习极限概念之前，已有一些零散的对极限概念的感性认识，教学中，教师应对这些时隐时现的极限知识加以强化和引导，尽管学生对日常生活的极限认识（可无限接近而不可超越）会干扰对数学极限的认识，但也可使学生以后认识到数学知识源于生活又高于生活。除充分利用学生已有对极限概念初步的感性认识外，在学习数列极限时，还要充分利用数列的实例，分析详尽、透彻，使学生获得比较完整的丰富深刻的感性认识，形成朴素的极限概念，从而为引出抽象的&epsilo

8、n;-N表达的极限概念作好充分准备。　　2、分析难点所在，有针对性的进行教学　　　　在数列极限的定义中，第一个抽象概念是无穷大和无穷小（n无穷大时，∣an-A∣无穷小）。在数学里，学生最初对无穷的朦胧认识是在小学学习自然数0,1,2,3，，知道自然数有无穷多个且