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时间:2018-05-05
《数学:例谈立体几何中的排列组合概率问题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例谈立体几何中的排列组合概率问题在近几年的高考试题中,出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,往往作为高考选择填空题的压轴题。它不仅考查了相关的基础知识,而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查。一、共面问题:分类讨论例1.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有()A.3个B.4个C.6个D.7个解析:平面α可以分为两类:一类是在平面α的两侧各有两个点;另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。如图
2、1,设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点,过E、F、G三点的平面α满足题意,这样的平面有4个;又过E、F、H、M的平面α也满足题意,这样的平面有3个。故适合题设的平面α共有7个,应选D。图1例2.在四棱锥PABCD中,顶点为P,从其他的顶点和各棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面上,不同的取法有()种。A.40B.48C.56D.62图2解析:如图2,满足题设的取法可分为三类:(1)在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有(种)不同的取法;(2)在两个对角面上
3、除点P外任取3点,共有(种)不同的取法;(3)过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有(种)不同的取法。故不同的取法共有(种)。点评:这类问题应根据立体图形的几何特点,选取恰当的分类标准,做到分类既不重复,也不遗漏。在例2中,最容易漏掉的是第(3)类,最易重复的也是第(3)类。二、异面问题:灵活转化例3.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有()A.18对B.24对C.30对D.36对解析:大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线,一个三棱柱可以组成(个)三棱锥,则
4、共有36对异面直线。故选D。点评:利用熟知的立体图形来灵活转化,是处理异面直线配对问题的常用方法。例4.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的,没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为①②③④的四个仓库,用来存放这8种化工产品,则安全存放的不同方法总数为()A.96B.48C.24D.0图3解析:如图3,分别用1~8标号的棱表示8种不同的化工产品,易知可以两两放入同一仓库的情况如下(其实就是异面直线配对):则8
5、种产品安全存放有“(1,5)、(2,6)、(3,7)、(4,8)”和“(1,8)、(2,5)、(3,6)、(4,7)”两种可能,故所求的方法总数为(种),应选B。点评:这道实际应用题用四棱锥的8条棱的关系来研究化工产品的存放种数,体现了数学建模的思想。同学们在解决问题时,首先要将问题转化为四棱锥的8条棱之间的排列组合情况,然后再把四棱锥的8条棱分成4对异面直线。三、综合问题:化整为零,各个击破例5.以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个三角形,则这2个三角形不共面的概率P为(
6、)A.B.C.D.解析:此问题可分解成五个小问题:(1)由平行六面体的8个顶点可组成多少个三角形?可组成(个)三角形。(2)平行六面体的8个顶点中,4点共面的情形共有多少种?平行六面体的6个面加上6个对角面,共12个平面。(3)在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个?有(个)(4)从56个三角形中任取2个三角形共面的概率P等于多少?(5)从56个三角形中任取2个三角形不共面的概率P等于多少?利用求对立事件概率的公式,得。故选A。点评:这道题以立体几何熟知内容为载体,构思巧妙,综合考
7、查立体几何、排列组合、概率等基础知识,深入考查同学们的数学思维能力。本题的得分率较低,同学们的主要失误表现在以下两方面:(1)面对一个复杂的问题,缺乏明确的解题目标意识,不善于将其分解为若干个子问题;(2)漏掉平行六面体的6个对角面也是4点共面的情形,造成所求概率,误选B。
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