上海市徐汇区高三第一学期期末数学试卷

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1、上海市徐汇区高三第一学期期末抽查数学试卷一、填空题：1．函数的定义域为。2．已知集合，则集合。3．函数的最小正周期是。4．设复数，则。5．函数的最大值为。6．方程的解是。7．已知数列的前项和，则的最小值为（结果用数值表示）。8．将４名教师分配到３所中学任教，每所中学至少１名教师，则不同的分配方案共有种。9．已知直线过点，当直线与圆有两个公共点时，其斜率的取值范围是。10、计算：。（其中为虚数单位）11、设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列（公差不为零），则双曲线一个可能的方程为。12、关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是。13、若函数在上是增函数，则实数的取值范围

2、是。14、对任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，则。二、选择题：15、函数的反函数是　（B）　　Ａ、　Ｂ、Ｃ、　D、16、点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（A）A、B、C、D、17、中，若，则为（C）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定18、已知，则数列的通项公式等于（D）A、B、C、D、三、解答题19、解不等式组：解：。知数列的首项是，前项和为，且，求数列的通项公式。解：，两式相减，得，∴。21、已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的值域。解

3、：（1）∴函数的最小正周期。（2）∵，∴，∴，∴。22、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为，贷款的利率为6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。（1）若存款的利率为，试分别写出存款数量及银行应支付给储户的利息与存款利率之间的关系式；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解：（1）存款量，银行应支付的利息。（2）设银行可获得收益为，则，当且仅当，即时取到最大值。答：当存款利率定为时，银行可获得最大收益。23.已知抛物线M的方程为（1）求抛物线M的准线的方程；（2）求证：对任意，经过两点的直线与一定圆C想切，并求出圆C的方程；（3）设AB为定

4、圆C的任意一条被直线平分的弦，求证：所有这些弦所在的直线都与某一条抛物线有且仅有一个公共点。（1）解：抛物线M的准线的方程为，即。（2）证明：∵，∴经过两点的直线方程为,∵原点到这条直线的距离，∴定圆C的方程为。（3）证明：设AB与直线的交点为，则，AB的方程为，由题意设抛物线方程为，把代入AB的方程，得，由，得，即所有这些弦所在的直线都与抛物线有且仅有一个公共点。24.已知函数且（1）求的单调区间；（2）若函数与函数在时有相同的值域，求的值；（3）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。解：（1），易得的单调递增区间为；单调递减区间为。（2）∵在上单调递减，∴其值域为

5、，即，。∵为最大值，∴最小值只能为或，若；若。综上得。（3）设的值域为,由题意知，。以下先证的单调性：设，∵，（，），∴在上单调递减。∴，∴的取值范围是。