专题：例谈三角形中四心的问题(北师版必修四)

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1、专题：例谈三角形中四心的问题编写：史学祥编审；涡阳四中数学专题组一）三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。O是三角形ABC内一点若0是外心则满足下列条件之一即可二）三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，ABCDEFH又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:求证：证：设化简：从而同理：若是垂心则满足下列条件之一即可1o是垂心2p是垂心解:∴在△ABC的边BC的高AD上.所以时P的轨迹一定

2、通过△ABC的垂心3点O是ΔABC所在平面上一点，若则点O是ΔABC的垂心解:则O在CA边的高线上同理可得O在CB边的高线上即O是ΔABC的垂心三）三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心1）O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心2）P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心证明:∵G是△ABC的重心即由此可得四）三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的充要条件是a+b+c=2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+则

3、P的轨迹一定通过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心；)